Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач

    Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

    Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

    Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.

    Определение 1

    Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.

    Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).

    Определение 2

    Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

    Стандартное обозначение буквой k. Из определения получим, что k=tg α. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

    Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

    Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

    Пример 1

    Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120°.

    Решение

    Из условия имеем, что α=120°. По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k=tg α=120=-3.

    Ответ: k=-3.

    Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k>0, тогда угол прямой острый и находится по формуле α=arctg k. Если k<0, тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α=π-arctgk.

    Пример 2

    Определить угол наклона заданной прямой к Ох при угловом коэффициенте равном 3.

    Решение

    Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к Ох меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α=arctg k=arctg 3.

    Ответ: α=arctg 3.

    Пример 3

    Найти угол наклона прямой к оси Ох, если угловой коэффициент = -13.

    Решение

    Если принять за обозначение углового коэффициента букву k, тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению Ох. Отсюда k=-13<0, тогда необходимо применить формулу α=π-arctgkПри подстановке получим выражение:

    α=π-arctg-13=π-arctg 13=π-π6=5π6.

    Ответ: 5π6.

    Уравнение с угловым коэффициентом

    Уравнение вида y=k·x+b, где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси Оу.

    Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y=k·x+b.  В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M1(x1, y1),  в уравнениеy=k·x+b, тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

    Пример 4

    Задана прямая с угловым коэффициентом y=13x-1. Вычислить, принадлежат ли точки M1(3, 0) и M2(2, -2) заданной прямой.

    Решение

    Необходимо подставить координаты точки M1(3, 0)  в заданное уравнение, тогда получим 0=13·3-10=0. Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

    Если подставим координаты точки M2(2, -2), тогда получим неверное равенство вида -2=13·2-1-2=-13. Можно сделать вывод, что точка М2 не принадлежит прямой.

    Ответ: М1 принадлежит прямой, а М2 нет.

    Известно, что прямая определена уравнением y=k·x+b, проходящим через M1(0, b), при подстановке получили равенство вида b=k·0+bb=b. Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0, b. Она образует угол αс положительным направлением оси Ох, где k=tg α.

    Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y=3·x-1. Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0, -1 с наклоном в α=arctg3=π3 радиан по положительному направлению оси Ох. Отсюда видно, что коэффициент равен 3.

    Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

    Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M1(x1, y1).

    Равенство y1=k·x+b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M1(x1, y1). Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y-y1=k·(x-x1).  Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M1(x1, y1).

    Пример 5

    Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М1 с координатами (4,-1), с угловым коэффициентом равным -2.

    Решение

    По условию имеем, что x1=4, y1=-1, k=-2. Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y-y1=k·(x-x1)y-(-1)=-2·(x-4)y=-2x+7.

    Ответ: y=-2x+7.

    Пример 6

    Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М1 с координатами (3,5), параллельную прямой y=2x-2.

    Решение

    По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y=2x-2, отсюда следует, что k=2. Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

    y-y1=k·(x-x1)y-5=2·(x-3)y=2x-1

    Ответ: y=2x-1.

    Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

    Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y=k·x+b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

    Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x-x1ax=y-y1ay. Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y=k·x+by-b=k·xk·xk=y-bkx1=y-bk.

    Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

    Пример 7

    Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y=-3x+12к каноническому виду.

    Решение

    Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

    y=-3x+12-3x=y-12-3x-3=y-12-3x1=y-12-3

    Ответ: x1=y-12-3.

    Общее уравнение прямой проще всего получить из y=k·x+b, но для этого необходимо произвести преобразования: y=k·x+bk·x-y+b=0. Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

    Пример 8

    Дано уравнение прямой видаy=17x-2. Выяснить, является ли вектор с координатами a=(-1, 7) нормальным вектором прямой?

    Решение

    Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

    y=17x-217x-y-2=0

    Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n=17, -1, отсюда 17x-y-2=0. Понятно, что вектор a=(-1, 7) коллинеарен вектору n=17, -1, так как имеем справедливое соотношение a=-7·n. Отсюда следует, что исходный вектор a=-1, 7 - нормальный вектор прямой 17x-y-2=0, значит, считается нормальным вектором для прямой y=17x-2.

    Ответ: Является

    Решим задачу обратную данной.

    Необходимо перейти от общего вида уравнения Ax+By+C=0, где B0, к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим Ax+By+C=0-AB·x-CB.

    Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется -AB.

    Пример 9

    Задано уравнение прямой вида 23x-4y+1=0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

    Решение

    Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

    23x-4y+1=04y=23x+1y=14·23x+1y=16x+14.

    Ответ: y=16x+14.

    Аналогичным образом решается уравнение вида xa+yb=1, которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x-x1ax=y-y1ay. Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

    xa+yb=1yb=1-xay=-ba·x+b.

    Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

    x-x1ax=y-y1ayay·(x-x1)=ax·(y-y1)ax·y=ay·x-ay·x1+ax·y1y=ayax·x-ayax·x1+y1

    Пример 10

    Имеется прямая, заданная уравнением x2+y-3=1. Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

    Решение.

    Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на -3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

    y-3=1-x2-3·y-3=-3·1-x2y=32x-3.

    Ответ: y=32x-3.

    Пример 11

    Уравнение прямой вида x-22=y+15 привести к виду с угловым коэффициентом.

    Решение

    Необходимо выражение x-22=y+15 вычислить как пропорцию. Получим, что 5·(x-2)=2·(y+1). Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

    5·(x-2)=2·(y+1)5x-10=2y+22y=5x-12y=52x

    Ответ: y=52x-6.

    Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

    Пример 12

    Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x=λy=-1+2·λ.

    Решение

    Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

    x=λy=-1+2·λλ=xλ=y+12x1=y+12.

    Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

    x1=y+122·x=1·(y+1)y=2x-1

    Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2. Это записывается как k=2.

    Ответ: k=2.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (15 голосов)