Координаты точки пересечения двух прямых - примеры нахождения, как найти точку пересечения прямых

Координаты точки пересечения двух прямых - примеры нахождения

    Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

    Точка пересечения двух прямых – определение

    Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

    Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся  в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

    Определение точки пересечения прямых звучит так:

    Определение 1

    Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

    Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

    Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

    Если на плоскости имеется система координат Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b - A2x+B2y+C2=0. Тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М0 являться точкой пересечения этих прямых.

    Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться  в точке, координаты которой  являются решением заданных уравнений A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M0(x0, y0) считается их точкой пересечения.

    Пример 1

    Даны две пересекающиеся прямые 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Будет ли точка М0 с координатами (2,-3) являться точкой пересечения.

    Решение

    Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что 

    5·2-2·(-3)-16=00=02·2-5·(-3)-19=00=0

    Оба равенства верные, значит М0 (2, -3) является точкой пересечения заданных прямых.

    Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

    Ответ:  заданная точка с координатами (2,-3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

    Пример 2

    Пересекутся ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?

    Решение

    Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

    5·2+3·(-3)-1=00=07·2-2·(-3)+11=031=0

    Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Отсюда имеем, что точка М0 не точка пересечения прямых.

    Чертеж наглядно показывает, что М0 - это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (-1,2).

    Ответ: точка с координатами (2,-3) не является точкой пересечения заданных прямых.

    Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на  плоскости.

    Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, расположенных в Оху. При обозначении точки пересечения М0 получим, что следует  продолжить поиск координат по уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

    Из определения очевидно, что М0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Иными словами это и есть решение полученной системы A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0.

    Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

    Пример 3

    Заданы две прямые x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

    Решение

    Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x-9y+14=05x-2y-16=0. Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x, подставляется выражение во второе:

     

    x-9y+14=05x-2y-16=0x=9y-145x-2y-16=0x=9y-145·9y-14-2y-16=0x=9y-1443y-86=0x=9y-14y=2x=9·2-14y=2x=4y=2

    Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

    Ответ: M0 (4, 2) является точкой  пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

    Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

    Пример 4

    Определить координаты точек пересечения прямых x-5=y-4-3 и x=4+9·λy=2+λ, λR.

    Решение

    Для начала необходимо привести уравнения к общему виду.  Тогда получаем, что x=4+9·λy=2+λ, λR преобразуется таким образом:

    x=4+9·λy=2+λλ=x-49λ=y-21x-49=y-211·(x-4)=9·(y-2)x-9y+14=0

    После чего беремся за уравнение канонического вида x-5=y-4-3 и преобразуем. Получаем, что 

    x-5=y-4-3-3·x=-5·y-43x-5y+20=0

    Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

    x-9y+14=03x-5y+20=0x-9y=-143x-5y=-20

    Применим метод Крамера для нахождения координат:

    =1-93-5=1·(-5)-(-9)·3=22x=-14-9-20-5=-14·(-5)-(-9)·(-20)=-110x=x=-11022=-5y=1-143-20=1·(-20)-(-14)·3=22y=y=2222=1

    Ответ: M0 (-5, 1).

    Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, λR. Тогда вместо значения x подставляется x=x1+ax·λ и y=y1+ay·λ, где получим λ=λ0, соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x1+ax·λ0, y1+ay·λ0.

    Пример 5

    Определить координаты точки пересечения прямой x=4+9·λy=2+λ, λR и x-5=y-4-3.

    Решение

    Необходимо выполнить подстановку в x-5=y-4-3 выражением x=4+9·λ, y=2+λ, тогда получим:

    4+9·λ-5=2+λ-4-3

    При решении получаем, что λ=-1. Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x=4+9·λy=2+λ, λR и x-5=y-4-3. Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ=-1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x=4+9·(-1)y=2+(-1)x=-5y=1.

    Ответ: M0 (-5, 1).

    Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

    Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A1x+B1y+ C1=0A2x+B2+C2=0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

    Пример 6

    Даны прямые x3+y-4=1 и y=43x-4. Определить, имеют ли они общую точку.

    Решение

    Упрощая заданные уравнения, получаем 13x-14y-1=0 и 43x-y-4=0.  

    Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

    13x-14y-1=013x-y-4=013x-14y=143x-y=4

    Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x3+y-4=1 и y=43x-4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

    Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

    Пример 7

    Найти координаты точки пересекающихся прямых 2x+(2-3)y+7=0 и 23+2x-7y-1=0.

    Решение

    По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

    2x+(2-3)y+7=02(3+2)x-7y-1=02x+(2-3)y=-72(3+2)x-7y=12x+2-3y=-72(3+2)x-7y+(2x+(2-3)y)·(-(3+2))=1+-7·(-(3+2))2x+(2-3)y=-70=22-72

    Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

    Второй способ решения.

    Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

    n1=(2, 2-3) является нормальным вектором прямой 2x+(2-3)y+7=0, тогда вектор n2=(2(3+2), -7 - нормальный вектор для прямой 23+2x-7y-1=0.

    Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n1=(2, 2-3) и n2=(2(3+2), -7). Получим равенство вида 22(3+2)=2-3-7. Оно верное, потому как 223+2-2-3-7=7+2-3(3+2)7(3+2)=7-77(3+2)=0. Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

    Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

    Пример 8

    Найти координаты пересечения заданных прямых 2x-1=0 и y=54x-2.

    Решение

    Для решения составляем систему уравнений. Получаем

    2x-1=054x-y-2=02x=154x-y=2

    Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2054-1=2·(-1)-0·54=-2. Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

    2x=154x-y=2x=1245x-y=2x=1254·12-y=2x=12y=-118

    Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M0(12, -118).

    Ответ: M0(12, -118).

    Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

    Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

    Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости Охуz уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая  может быть определена при помощи заданной системы A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D1=0 а прямая b - A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0.

    Когда точка М0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

    A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0

    Рассмотрим подобные задания на примерах.

    Пример 9

    Найти координаты точки пересечения заданных прямых x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0

    Решение

    Составляем систему x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида  A=10001232040-2 и расширенную T=1001012-340-24. Определяем ранг матрицы по Гауссу.

    Получаем, что

    1=10, 1001=10, 100012320=-40, 1001012-3320-340-24=0

    Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3. Тогда система уравнений  x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-27-4=0 в результате дает только одно решение.

    Базисный минор имеет определитель 100012320=-40, тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0x=1y+2z=-33x+2y-3 . Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3x=1y+2z=-33·1+2y=-3x=1y+2z=-3y=-3x=1-3+2z=-3y=-3x=1z=0y=-3.

    Значит, имеем, что точка пересечения x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0   имеет координаты (1, -3, 0).

    Ответ: (1, -3, 0).

    Система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

    В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

    Поэтому система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

    Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

    Пример 10

    Заданы уравнения прямых x+2y-3z-4=02x-y+5=0 и x-3z=03x-2y+2z-1=0. Найти точку пересечения.

    Решение

    Для начала составим систему уравнений. Получим, что x+2y-3z-4=02x-y+5=0x-3z=03x-2y+2z-1=0 . решаем ее методом Гаусса:

    12-342-10-510-303-221~12-340-56-130-20-40-811-11~~12-340-56-1300-125650075-1595~12-340-56-1300-1256500031110

    Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

    Ответ: нет точки пересечения.

    Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

    Пример 11

    Заданы две прямые x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ, λR и x2=y-30=z5 в Охуz. Найти точку пересечения.

    Решение

    Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

    x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λλ=x+3-1λ=y-3λ=z+23x+3-1=y-3=z+23x+3-1=y-3x+3-1=z+233x-y+9=03x+z+11=0x2=y-30=z5y-3=0x2=z5y-3=05x-2z=0

    Находим координаты 3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0, для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3, а базисный минор 3-10301010=-30, значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

    3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=03x-y+9=03x+z+11=0y-3=0

    Решим систему методом Крамер. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).

    Ответ: (-2, 3, -5).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (14 голосов)