Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач

    Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.

    Понятие канонического уравнения прямой

    Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой M1(x1, y1), а также ее направляющего вектора a=(ax, ay). Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.

    Возьмем плавающую точку M(x, y). Тогда вектор M1M можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны  x-x1, y-y(если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).

    Множество произвольно взятых точек M(x, y) будут определять нужную нам прямую с направляющим вектором a=(ax, ay)  только в одном случае – если векторы M1M и a=(ax, ay) будут коллинеарны по отношению друг к другу. Посмотрите на картинку: 

    Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:

    M1M=λ·a, λR

    Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:

    x-x1=λ·axy-y1=λ·ay

    При условии, что ax0 и ay0, получим:

    x-x1=λ·axy-y1=λ·ayλ=x-x1axλ=y-y1ayx-x1ax=y-y1ay

    Итог наших преобразований и будет каноническим уравнением прямой на плоскости. Запись вида x-x1ax=y-y1ay также называют уравнением прямой в каноническом виде.

    Таким образом, с помощью уравнения x-x1ax=y-y1ay можно задать в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, которая имеет направляющий вектор a=(ax, ay) и проходит через точку M1(x1, y1).

    Примером уравнения подобного типа является, например, x-23=y-31. Прямая, которая задана с его помощью, проходит через  M1(2, 3) и имеет направляющий вектор a=3, 1. Ее можно увидеть на рисунке:

    Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:

    Определение 1

    1. Если прямая, имеющая направляющий вектор a=(ax, ay), проходит через две точки – M1(x1, y1) и M2(x2, y2), то уравнение для нее может быть записано как в виде x-x1ax=y-y1ay, так и x-x2ax=y-y2ay.

    2. Если заданная прямая имеет направляющий вектор с координатами a=(ax, ay), то множество всех ее векторов можно обозначить как μ·a=(μ·ax, μ·ay), μR, μ0. Таким образом, любое уравнение прямой в каноническом виде x-x1μ·ax=y-y1μ·ay будет соответствовать этой прямой.

    Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.

    Пример 1

    В прямоугольной системе координат на плоскости задана прямая, которая проходит через точку M1(2, -4) и имеет направляющий вектор с координатами a=(1, -3). Запишите каноническое уравнение, описывающее данную прямую.

    Решение

    Для начала вспомним общий вид нужного нам канонического уравнения – x-x1ax=y-y1ay. Подставим в него имеющиеся значения x1=2, y1=-4, ax=1, ay=-3 и подсчитаем:

    x-x1ax=y-y1ayx-21=y-(-4)-3x-21=y+4-3

    Получившееся в итоге равенство и будет нужным ответом.

    Ответ: x-21=y+4-3

    Канонические уравнения прямой на плоскости с ax или ay, равными нулю

    Если значение хотя бы одной переменной a является нулевым, то уравнение плоскости используют в первоначальном виде. Сразу две переменные нулевыми не могут быть по определению, поскольку нулевой вектор не бывает направляющим. В таком случае мы можем считать запись x-x1ax=y-y1ay условной и понимать ее как равенство ay(x-x1)=ax(y-y1).

    Разберем случаи канонических уравнений на плоскости с одним нулевым a более подробно. Допустим, что x-x10=y-y1ay при ax=0, а исходная прямая будет проходить через M1(x1, y1). В таком случае она является параллельной оси ординат (если x1=0, то она будет с ней совпадать). Докажем это утверждение.

    Для этой прямой вектор a=(0, ay) будет считаться направляющим. Этот вектор является коллинеарным по отношению к координатному вектору j=(0,1).

    Если же нулевым является значение второго параметра, то есть ay=0, то мы получаем равенство вида x-x1ax=y-y10. Это уравнение описывает прямую, проходящую через M1(x1, y1), которая расположена параллельно оси абсцисс. Это утверждение верно, поскольку a=(ax, 0) является для этой прямой направляющим вектором, а он в свою очередь является коллинеарным по отношению к координатному вектору i=(1, 0).

    Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:

    Пример 2

    На плоскости задана прямая, параллельная оси Oy. Известно, что она проходит через точку M123, -17. Запишите каноническое уравнение для нее.

    Решение 

    Если прямая по отношению оси ординат является параллельной, то мы можем взять координатный вектор j=(0, 1) в качестве направляющего для нее. В таком случае искомое уравнение выглядит следующим образом:

    x-230=y--171x-230=y+171

    Ответ: x-230=y+171

    Пример 3

    На рисунке изображена прямая. Запишите ее каноническое уравнение.

    Решение

    Мы видим, что исходная прямая проходит параллельно оси Ox через точку M1(0, 3). Мы берем координатный вектор i=(1, 0) в качестве направляющего. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужное уравнение.

    x-01=y-30x1=y-30

    Ответ: x1=y-30

    Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений

    Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.

    Стандартной форме записи канонического уравнения x-x1ax=y-y1ay можно поставить в соответствие систему параметрических уравнений на плоскости x=x1+ax·λy=y1+ay·λ. Чтобы преобразовать один вид уравнения в другой, нам надо приравнять правую и левую часть исходного равенства к параметру λ. После этого надо выполнить разрешение получившихся равенств относительно переменных x и y:

    x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=y-y1ay=λx-x1ax=λy-y1ay=λx=x1+ax·λy=y1+ay·λ

    Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.

    Пример 4

    У нас есть прямая, заданная на плоскости с помощью канонического уравнения x+23=y-111. Запишите параметрические уравнения исходной прямой.

    Решение

    Сначала поставим знак равенства между отдельными частями уравнения и переменной λ и получим x+23=λy-111=λ.

    Далее можно перейти к формулированию необходимых параметрических уравнений:

    x+23=λy-111=λx+2=3·λy-1=11·λx=-2+3·λy=1+11·λ

    Ответ: x=-2+3·λy=1+11·λ

    Из канонического уравнения можно получить не только параметрические, но и общие уравнения прямой. Вспомним понятие пропорции: запись ab=cd можно представить в виде a·d=b·c с сохранением смысла. Значит, что x-x1ax=y-y1ayay(x-x1)=ax(y-y1)ayx-axy-ayx1+axy1=0.

    Это и есть общее уравнение прямой. Это станет более очевидно, если мы добавим в него значения параметров ay=A, -ax=B, -ayx1+axy1=C.

    Пример 5

    Прямая на плоскости описана с помощью канонического уравнения x-12=y+40. Вычислите общее уравнение этой прямой.

    Решение 

    Делаем указанные выше действия по порядку.

    x-12=y+400·(x-1)=2·(y+4)y+4=0

    Ответ: y+4=0 .

    Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.

    Пример 6

    На плоскости задана прямая с помощью уравнения x+33=y-22. Запишите уравнение этой же прямой в отрезках.

    Решение

    Для начала преобразуем исходное каноническое уравнение в общее уравнение прямой.

    x+33=y-222·(x+3)=3·(y-2)2x-3y+6+23=0

    Далее переходим к формулировке уравнения прямой в отрезках.

    2x-3y+6+23=02x-3y=-6+232-(6+23)x-3-(6+23)y=1x-6+232+y6+233=1x-3+3+y33+2=1

    Ответ: x-3+3+y33+2=1

    Достаточно легко решить и задачу, обратную этой, т.е. привести уравнение прямой на плоскости обратно к каноническому. Допустим, у нас есть общее уравнение прямой в стандартной формулировке – Ax+By+C=0. При условии A0 мы можем перенести By вправо с противоположным знаком. Получим Ax+C=-By. Теперь выносим A за скобки и преобразуем равенство так:

    Ax+CA=-By

    Получившееся уравнение мы записываем в виде пропорции: x+CA-B=yA.

    У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.

    А как сделать преобразование, если B0? Переносим все слагаемые, кроме Ax, вправо с противоположными знаками. Получаем, что Ax=-By-C. Выносим -B за скобки:

    Ax=-By+CB

    Формируем пропорцию: x-B=y+CBA

    Пример 7

    Есть общее уравнение прямой x+3y-1=0. Перепишите его в каноническом виде.

    Решение

    Оставим с левой стороны только одну переменную x. Получим:

    x=-3y+1

    Теперь вынесем -3 за скобки: x=-3y-13. Преобразуем равенство в пропорцию и получим необходимый ответ:

    x-3=y-131

    Ответ: x-3=y-131

    Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

    Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр λ в системе уравнений x=x1+ax·λy=y1+ay·λ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λλ=x-x1axλ=y-y1ayx-x1ax=y-y1ay

    Если значение одного из параметров a будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.

    Пример 8

    Прямая на плоскости описана с помощью системы параметрических уравнений x=3+0·λy=-2-4·λ. Запишите каноническое уравнение для этой прямой.

    Решение

    Для начала преобразуем исходные уравнения в систему x=3+0·λy=-2-4·λ. Следующим шагом будет выражение параметра в каждом уравнении:

    x=3+0·λy=-2-4·λλ=x-30λ=y+2-4

    Ставим знак равенства между получившимися частями и получаем нужное нам каноническое уравнение: x-30=y+2-4

    Ответ: x-30=y+2-4

    Как решать задачи на составление канонических уравнений

    В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.

    Пример 9

    На плоскости задана прямая, каноническое уравнение которой имеет вид x-12=y+12-3. Выясните, лежат ли на ней точки M13, -312 и M2(5, -4).

    Решение

    Для проверки принадлежности необходимо подставить координаты точки в исходное уравнение и проверить, получим ли мы в итоге верное равенство.

    3-12=-312+12-21=1

    Результат говорит нам, что точка M13, -312 принадлежит исходной прямой.

    Точно так же поступим и с координатами второй точки:

    5-12=-4+12-32=76

    Получившееся в итоге равенство не является верным, значит, эта точка заданной прямой не принадлежит.

    Ответ: первая точка лежит на заданной прямой, а вторая нет.

    Пример 10

    Есть две точки M1(2, 4) и M2(-1, 3). Будет ли прямая, которая задана в той же плоскости с помощью уравнения x-20=y-32, проходить через них?

    Решение

    Вспомним, что запись x-20=y-32 можно понимать как 2·(x-2)=0·(y-3)x-2=0. Подставим координаты заданных точек в это равенство и проверим.

    Начнем с первой точки M1(2, 4) : 2-2=00=0

    Равенство верное, значит, эта точка расположена на заданной прямой.

    Подставляем данные второй точки: -1-2=0-3=0.

    Равенство неверное, значит, точка M2(-1, 3) не лежит на исходной прямой.

    Ответ: через точку M1(2, 4) прямая проходит, а через M2(-1, 3) нет.

    Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.

    Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.

    Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.

    Пример 11

    Прямая на плоскости проходит через точку M1(0, -3) и через точку M2(2, -2). Сформулируйте для этой прямой канонической уравнение.

    Решение

    Eсли у нас есть координаты двух точек, то мы можем вычислить по ним координаты вектора M1M2=2, 1. По отношению к прямой, чье уравнение мы составляем, он будет направляющим вектором. После этого мы можем записать следующее:

    x-02=y-(-3)1x2=y+31

    Также можно использовать координаты второй точки. Тогда мы получим: x-22=y-(-2)1x-22=y+21

    Ответ: x2=y+31

    Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.

    Пример 12

    Известно, что точка M1(1, 3) принадлежит некоторой прямой, которая параллельна второй прямой, заданной с помощью уравнения x2=y-5. Запишите каноническое уравнение первой прямой.

    Решение

    Для первой прямой можно определить направляющий вектор a=2, -5. Его можно рассматривать и в качестве направляющего для второй прямой, что следует из самого определения направляющих векторов. Это позволяет нам получить всю информацию, нужную для записи искомого уравнения: x-12=y-3-5

    Ответ: x-12=y-3-5

    Пример 13

    Через точку M1(-1, 6) проходит прямая, которая является перпендикулярной другой прямой, определенной на плоскости с помощью уравнения 2x-4y-7=0. Запишите каноническое уравнение первой прямой.

    Решение

    Из данного уравнения мы можем взять координаты нормального вектора второй прямой – 2, 4. Мы знаем, что этот вектор является направляющим по отношению к первой. Тогда мы можем записать искомое уравнение:

    x-(-1)2=y-64x+11=y-62

    Ответ: x+11=y-62

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (12 голосов)