Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей, перпендикуляр к плоскости
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей

    Данная статья посвящена перпендикулярным плоскостям. Будут даны определения, обозначения вместе с примерами. Будет сформулирован признак перпендикулярности плоскостей и условие, при котором он выполним. Будут рассмотрены решения подобных задач на примерах.

    Перпендикулярные плоскости – основные сведения

    При наличии угла между пересекающимися прямыми можно говорить об определении перпендикулярных плоскостей.

    Определение 1

    При условии, что угол между перпендикулярными прямыми равен 90 градусов, их называют перпендикулярными.

    Обозначение перпендикулярности принято писать знаком «». Если в условии дано, что плоскости α и βперпендикулярные, тогда запись принимает вид αβ. На рисунке ниже показано подробно.

    Когда в улови дано, что плоскость α и β перпендикулярны, это значит, что α перпендикулярна β и наоборот. Такие плоскости называют взаимно перпендикулярными. Например, стена и потолок в комнате являются взаимно перпендикулярными, так как при пересечении дают прямой угол.

    Перпендикулярность плоскостей – признак и условие перпендикулярности

    На практике можно встретить задания, где необходимо определить перпендикулярность заданных плоскостей. Для начала нужно определить угол между ними. Если он равен 90 градусам, тогда они считаются перпендикулярными из определения.

    Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей применяют признак перпендикулярности двух плоскостей. Формулировка содержит понятия перпендикулярная прямая и плоскость. Напишем точное определение признака перпендикулярности в виде теоремы.

    Теорема 1

    Если одна из двух заданных плоскостей пересекает прямую, перпендикулярную другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.

    Доказательство имеется в учебнике по геометрии за 10-11 класс, где есть подробное описание. Из признака следует, что, если плоскость перпендикулярна линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

    Существует необходимое и достаточное условия для доказательства. Рассмотрим их для перпендикулярности двух заданных плоскостей, которое применяется в качестве проверки их перпендикулярности, находящихся в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Чтобы доказательство имело силу, необходимо применить определение нормального вектора плоскости, который способствует доказать необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

    Теорема 2

    Для того, чтобы перпендикулярность пересекающихся плоскостей была явной, необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы заданных плоскостей пересекались под прямым углом.

    Доказательство

    Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат. Если имеем n1=(A1, B1, C1) и n2=(A2, B2, C2), являющимися нормальными векторами заданных плоскостей α и β, то необходимым  и достаточным условием перпендикулярности  векторов n1 и n2 примет вид

    n1, n2=0A1·A2+B1·B2+C1·C2=0

    Отсюда получаем, что n1=(A1, B1, C1) и n2=(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей, а для действительности перпендикулярности α и β необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n1 и n2 было равным нулю, а значит, принимало вид n1, n2=0A1·A2+B1·B2+C1·C2=0.

    Равенство выполнено.

    Рассмотрим подробнее на примерах.

    Пример 1

    Определить перпендикулярность плоскостей, заданных в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерно пространства, заданного уравнениями x-3y-4=0 и x23+y-2+z45=1 ?

    Решение

    Для нахождения ответа на вопрос о перпендикулярности для начал необходимо найти координаты нормальных векторов заданных плоскостей, после чего можно будет выполнить проверку на перпендикулярность.

    x-3y-4=0 является общим уравнением плоскости, из которого можно сразу преобразовать координаты нормального вектора, равные n1=(1,-3, 0).

    Для определения координаты нормального вектора плоскости x23+y-2+z45=1 перейдем от уравнения плоскости в отрезках к общему.

    Тогда получим:

    x23+y-2+z4532x-12y+54z-1=0

    Тогда n2=32, -12, 54- это координаты нормального вектора плоскости x23+y-2+z45=1.

    Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов n1=(1, -3, 0) и n2=32, -12, 54.

    Получим, что n1, n2=1·32+(-3)·-12+0·54=3.

    Видим, что оно не равно нулю, значит, что заданные векторы не перпендикулярны. Отсюда следует, что плоскости также не перпендикулярны. Условие не выполнено.

    Ответ: плоскости не перпендикулярны.

    Пример 2

    Прямоугольная система координат Oxyz имеет четыре точки с координатами A -154, -78, 1, B 178, 516, 0, C 0, 0, 37, D -1, 0, 0. Проверить, перпендикулярны ли плоскости АВС и ABD.

    Решение

    Для начала необходимо рассчитать скалярное произведение векторов данных плоскостей. Если оно равно нулю, только в этом случае можно считать, что они перпендикулярны. Находим координаты нормальных векторов n1 и n2 плоскостей АВС и ABD.

    Из заданных координат точек вычислим координаты векторов AB, AC, AD. Получаем, что:

    AB=478, 1916, -1, AC=154, 78, -47, AD=114, 78, -1.

    Нормальный вектор плоскости АВС является векторным произведением векторов AB и AC, а для ABD векторное произведение AB и AD. Отсюда получим, что

    n1=AB×AC=ijk4781916-115478-47=1156·i-1128·j+1116·kn1=1156, -1128, 1116n2=AB×AD=ijk4781916-111478-1=-516·i+258·j+158·kn2=-516, 258, 158

    Приступим к нахождению скалярного произведения  n1=1156, -1128, 1116 и n2=-516, 258, 158.

    Получим: n1, n2=1156·-516+-1128·258+1116·158=0.

    Если оно равно нулю, значит векторы плоскостей АВС и ABD перпендикулярны, тогда и сами плоскости перпендикулярны.

    Ответ: плоскости перпендикулярны.

    Можно было подойти к решению иначе и задействовать уравнения плоскостей АВС и ABD. После нахождения координат нормальных векторов данных плоскостей можно было бы проверить на выполнимость условие перпендикулярности нормальных векторов плоскостей. 

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (18 голосов)