Канонические уравнения прямой в пространстве: теория, примеры, решение задач

Канонические уравнения прямой в пространстве: теория, примеры, решение задач

    Одним из видов уравнений прямой в пространстве является каноническое уравнение. Мы рассмотрим это понятие во всех подробностях, поскольку знать его необходимо для решения многих практических задач.

    В первом пункте мы сформулируем основные уравнения прямой, расположенной в трехмерном пространстве, и приведем несколько примеров. Далее покажем способы вычисления координат направляющего вектора при заданных канонических уравнениях и решение обратной задачи. В третьей части мы расскажем, как составляется уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в трехмерном пространстве, а в последнем пункте укажем на связи канонических уравнений с другими. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решения задач.

    Что такое каноническое уравнение прямой в пространстве

    О том, что вообще из себя представляют канонические уравнения прямой, мы уже говорили в статье, посвященной уравнениям прямой на плоскости. Случай с трехмерным пространством мы разберем по аналогии.

    Допустим, у нас есть прямоугольная система координат Oxyz, в которой задана прямая. Как мы помним, задать прямую можно разными способами. Используем самый простой из них – зададим точку, через которую будет проходить прямая, и укажем направляющий вектор. Если обозначить прямую буквой a, а точку M, то можно записать, что M1(x1, y1, z1) лежит на прямой a и направляющим вектором этой прямой будет a=(ax, ay, az). Чтобы множество точек M(x, y, z) определяло прямую a, векторы M1M и a должны быть коллинеарными,

    Если мы знаем координаты векторов M1M и a, то можем записать в координатной форме необходимое и достаточное условие их коллинеарности. Из первоначальных условий нам уже известны координаты a. Для того чтобы получить координаты M1M, нам необходимо вычислить разность между M(x, y, z) и M1(x1, y1, z1). Запишем:

    M1M=x-x1, y-y1, z-z1

    После этого нужное нам условие мы можем сформулировать так: M1M=x-x1, y-y1, z-z1 и a=(ax, ay, az): M1M=λ·ax-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az

    Здесь значением переменной λ может быть любое действительное число или ноль. Если λ=0, то M(x, y, z) и M1(x1, y1, z1)совпадут, что не противоречит нашим рассуждениям.

    При значениях ax0, ay0, az0 мы можем разрешить относительно параметра λ все уравнения системы x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az

    Между правыми частями после этого можно будет поставить знак равенства:

    x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·azλ=x-x1axλ=y-y1ayλ=z-z1azx-x1ax=y-y1ay=z-z1az

    В итоге у нас получились уравнения x-x1ax=y-y1ay=z-z1az, с помощью которых можно определить искомую прямую в трехмерном пространстве. Это и есть нужные нам канонические уравнения.

    Такая запись используется даже при нулевых значениях одного или двух параметров ax, ay, az, поскольку она в этих случаях она также будет верна. Все три параметра не могут быть равны 0, поскольку направляющий вектор a=(ax, ay, az) нулевым не бывает.

    Если один-два параметра a равны 0, то уравнение x-x1ax=y-y1ay=z-z1az носит условный характер. Его следует считать равным следующей записи:

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, λR.

    Частные случаи канонических уравнений мы разберем в третьем пункте статьи.

    Из определения канонического уравнения прямой в пространстве можно сделать несколько важных выводов. Рассмотрим их.

    1) если исходная прямая будет проходить через две точки  M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то канонические уравнения примут следующий вид:

    x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или x-x2ax=y-y2ay=z-z2az.

    2) поскольку a=(ax, ay, az) является направляющим вектором исходной прямой, то таковыми будут являться и все векторы μ·a=μ·ax, μ·ay, μ·az, μR, μ0. Тогда прямая может быть определена с помощью уравнения x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или x-x1μ·ax=y-y1μ·ay=z-z1μ·az.

    Вот несколько примеров таких уравнений с заданными значениями:

    Пример 1

    x-32=y+1-12=zln 7

    Тут x1=3, y1=-1, z1=0, ax=2, ay=-12, az=ln 7.

    Пример 2

    x-40=y+21=z+10

    Тут M1(4, -2, -1), a=(0, 1, 0).

    Как составить каноническое уравнение прямой в пространстве

    Мы выяснили, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az будут соответствовать прямой, проходящей через точку M1(x1, y1, z1), а вектор a=(ax, ay, az) будет для нее направляющим. Значит, если мы знаем уравнение прямой, то можем вычислить координаты ее направляющего вектора, а при условии заданных координат вектора и некоторой точки, расположенной на прямой, мы можем записать ее канонические уравнения.

    Разберем пару конкретных задач.

    Пример 3

    У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x+14=y2=z-3-5. Запишите координаты всех направляющих векторов для нее.

    Решение

    Чтобы получить координаты направляющего вектора, нам надо просто взять значения знаменателей из уравнения. Мы получим, что одним из направляющих векторов будет a=(4, 2, -5), а множество всех подобных векторов можно сформулировать как μ·a=4·μ, 2·μ, -5·μ. Здесь параметр μ – любое действительное число (за исключением нуля).

    Ответ: 4·μ, 2·μ, -5·μ, μR,  μ0 

    Пример 4

    Запишите канонические уравнения, если прямая в пространстве проходит через M1(0, -3, 2) и имеет направляющий вектор с координатами -1, 0, 5.

    Решение

    У нас есть данные, что x1=0, y1=-3, z1=2, ax=-1, ay=0, az=5. Этого вполне достаточно, чтобы сразу перейти к записи канонических уравнений.

    Сделаем это:

    x-x1ax=y-y1ay=z-z1azx-0-1=y-(-3)0=z-25x-1=y+30=z-25

    Ответ: x-1=y+30=z-25

    Эти задачи – самые простые, потому что в них есть все или почти все исходные данные для записи уравнения или координат вектора. На практике чаще можно встретить те, в которых сначала нужно находить нужные координаты, а потом записывать канонические уравнения. Примеры таких задач мы разбирали в статьях, посвященных нахождению уравнений прямой, проходящей через точку пространства параллельно заданной, а также прямой, проходящей через некоторую точку пространства перпендикулярно плоскости.

    Канонические уравнения с одним или двумя a, равными нулю

    Ранее мы уже говорили, что одно-два значения параметров ax, ay, az в уравнениях могут иметь нулевые значения. При этом запись x-x1ax=y-y1ay=z-z1az=λ приобретает формальный характер, поскольку мы получаем одну или две дроби с нулевыми знаменателями. Ее можно переписать в следующем виде (при λR):

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ

    Рассмотрим эти случаи подробнее. Допустим, что ax=0, ay0, az0, ax0, ay=0, az0, либо ax0, ay0, az=0. В таком случае нужные уравнения мы можем записать так:

    1.  В первом случае: 
      x-x10=y-y1ay=z-z1az=λx-x1=0y=y1+ay·λz=z1+az·λx-x1=0y-y1ay=z-z1az=λ
    2.  Во втором случае:
      x-x1ax=y-y10=z-z1az=λx=x1+ax·λy-y1=0z=z1+az·λy-y1=0x-x1ax=z-z1az=λ

    3.  В третьем случае:
      x-x1ax=y-y1ay=z-z10=λx=x1+ax·λy=y1+ay·λz-z1=0z-z1=0x-x1ax=y-y1ay=λ

    Получается, что при таком значении параметров нужные прямые находятся в плоскостях x-x1=0, y-y1=0 или z-z1=0, которые располагаются параллельно координатным плоскостям (если x1=0, y1=0 либо z1=0). Примеры таких прямых показаны на иллюстрации.

    Следовательно, мы сможем записать канонические уравнения немного иначе.

    1. В первом случае: x-x10=y-y10=z-z1az=λx-x1=0y-y1=0z=z1+az·λ, λR
    2. Во втором: x-x10=y-y1ay=z-z10=λx-x1=0y=y1+ay·λ, λRz-z1=0
    3. В третьем: x-x1ax=y-y10=z-z10=λx=x1+ax·λ, λRy=y1=0z-z1=0

    Во всех трех случаях исходные прямые будут совпадать с координатными осями или окажутся параллельными им: x1=0y1=0, x1=0z1=0, y1=0z1=0. Их направляющие векторы имеют координаты  0, 0, az, 0, ay, 0, ax, 0, 0. Если обозначить направляющие векторы координатных прямых как i, j, k, то направляющие векторы заданных прямых будут коллинеарными по отношению к ним. На рисунке показаны эти случаи:

    Покажем на примерах, как применяются эти правила.

    Пример 5

    Найдите канонические уравнения, с помощью которых можно определить в пространстве координатные прямые Oz, Ox, Oy.

    Решение

    Координатные векторы i=(1, 0, 0), j=0, 1, 0, k=(0, 0, 1) будут для исходных прямых направляющими. Также мы знаем, что наши прямые будут обязательно проходить через точку O(0, 0, 0), поскольку она является началом координат. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужные канонические уравнения.

    Для прямой Ox: x1=y0=z0

    Для прямой Oy: x0=y1=z0

    Для прямой Oz: x0=y0=z1

    Ответ: x1=y0=z0, x0=y1=z0, x0=y0=z1.

    Пример 6

    В пространстве задана прямая, которая проходит через точку M1(3, -1, 12). Также известно, что она расположена параллельно оси ординат. Запишите канонические уравнения этой прямой.

    Решение

    Учитывая условие параллельности, мы можем сказать, что вектор j=0, 1, 0 будет для нужной прямой направляющим. Следовательно, искомые уравнения будут иметь вид:

    x-30=y-(-1)1=z-120x-30=y+11=z-120

    Ответ: x-30=y+11=z-120

    Как записать каноническое уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки

    Допустим, что у нас есть две несовпадающие точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), через которые проходит прямая. Как в таком случае мы можем сформулировать для нее каноническое уравнение?

    Для начала примем вектор M1M2 (или M2M1) за направляющий вектор данной прямой. Поскольку у нас есть координаты нужных точек, сразу вычисляем координаты вектора:

    M1M2=x2-x1, y2-y1, z2-z1

    Далее переходим непосредственно к записи канонического уравнения, ведь все нужные данные у нас уже есть. Исходная прямая будет определяться записями следующего вида:

    x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1

    Получившиеся равенства – это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взгляните на иллюстрацию:

    Приведем пример решения задачи.

    Пример 7

    в пространстве есть две точки с координатами M1(-2, 4, 1) и M2(-3, 2, -5), через которые проходит прямая. Запишите канонические уравнения для нее.

    Решение

    Согласно условиям, x1=-2, y1=-4, z1=1, x2=-3, y2=2, z2=-5. Нам требуется подставить эти значения в каноническое уравнение:

    x-(-2)-3-(-2)=y-(-4)2-(-4)=z-1-5-1x+2-1=y+46=z-1-6

    Если мы возьмем уравнения вида x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1, то у нас получится: x-(-3)-3-(-2)=y-22-(-4)=z-(-5)-5-1x+3-1=y-26=z+5-6

    Ответ: x+3-1=y-26=z+5-6 либо x+3-1=y-26=z+5-6.

    Преобразование канонических уравнений прямой в пространстве в другие виды уравнений

    Иногда пользоваться каноническими уравнениями вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az не очень удобно. Для решения некоторых задач лучше использовать запись x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ. В некоторых случаях более предпочтительно определить нужную прямую с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0. Поэтому в данном пункте мы разберем, как можно перейти от канонических уравнений к другим видам, если это требуется нам по условиям задачи.

    Понять правила перехода к параметрическим уравнениям несложно. Сначала приравняем каждую часть уравнения к параметру λ и разрешим эти уравнения относительно других переменных. В итоге получим:

    x-x1ax=y-y1ay=z-z1azx-x1ax=y-y1ay=z-z1azx-x1ax=λy-y1ay=λz-z1az=λx=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ

    Значение параметра λ может быть любым действительным числом, ведь и x, y, z могут принимать любые действительные значения.

    Пример 8

    В прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана прямая, которая определена уравнением x-23=y-2=z+70. Запишите каноническое уравнение в параметрическом виде.

    Решение

    Сначала приравниваем каждую часть дроби к λ.

    x-23=y-2=z+70x-23=λy-2=λz+70=λ

    Теперь разрешаем первую часть относительно x, вторую – относительно y, третью – относительно z. У нас получится:

    x-23=λy-2=λz+70=λx=2+3·λy=-2·λz=-7+0·λx=2+3·λy=-2·λz=-7

    Ответ: x=2+3·λy=-2·λz=-7

    Следующим нашим шагом будет преобразование канонических уравнений в уравнение двух пересекающихся плоскостей (для одной и той же прямой).

    Равенство x-x1ax=y-y1ay=z-z1az нужно для начала представить в виде системы уравнений:

    x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=z-z1axy-y1ay=z-z1az

    Поскольку pq=rs мы понимаем как p·s=q·r, то можно записать:

    x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=z-z1azy-y1ay=z-z1azay·(x-x1)=ax·(y-y1)az·(x-x1)=ax·(z-z1)az·(y-y1)=ay·(z-z1)ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0az·x-ax·z+ax·z1-az·x1=0az·y-ay·z+ay·z1-az·y1=0

    В итоге у нас вышло, что:

    x-x1ax=y-y1ay=z-z1azay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0az·x-ax·z+ax·z1-az·x1=0az·y-ay·z+ay·z1-az·y1=0

    Выше мы отмечали, что все три параметра a не могут одновременно быть нулевыми. Значит, ранг основной матрицы системы будет равен 2, поскольку ay-ax0az0-ax0az-ay=0 и один из определителей второго порядка не равен 0:

    ay-axaz0=ax·az, ay0az-ax=ax·ay,  -ax00-ax=ax2ay-ax0az=ay·az, ay00-ay=-ay2, -ax0az-ay=ax·ayaz00az=az2, az-ax0-ay=-ay·az, 0-axaz-ay=ax·az

    Это дает нам возможность исключить одно уравнение из наших расчетов. Таким образом, канонические уравнения прямой можно преобразовать в систему из двух линейных уравнений, которые будут содержать 3 неизвестных. Они и будут нужными нам уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

    Рассуждение выглядит довольно сложным, однако на практике все делается довольно быстро. Продемонстрируем это на примере.

    Пример 9

    Прямая задана каноническим уравнением x-12=y0=z+20. Напишите для нее уравнение пересекающихся плоскостей.

    Решение

    Начнем с попарного приравнивания дробей.

    x-12=y0=z+20x-12=y0x-12=z+20y0=z+200·(x-1)=2y0·(x-1)=2·(z+2)0·y=0·(z+2)y=0z+2=00=0

    Теперь исключаем из расчетов последнее уравнение, потому что оно будет верным при любых x, y и z. В таком случае x-12=y0=z+20y=0z+2=0.

    Это и есть уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые при пересечении образуют прямую, заданную с помощью уравнения x-12=y0=z+20

    Ответ: y=0z+2=0

    Пример 10

    Прямая задана уравнениями x+12=y-21=z-5-3, найдите уравнение двух плоскостей, пересекающихся по данной прямой.

    Решение

    Приравниваем дроби попарно.

    x+12=y-21=z-5-3x+12=y-21x+12=z-5-3y-21=z-5-31·(x+1)=2·(y-2)-3·(x+1)=2·(z-5)-3·(y-2)=1·(z-5)x-2y+5=03x+2z-7=03y+7-11=0

    Получаем, что определитель основной матрицы полученной системы будет равен 0:

    1-20302031=1·0·1+(-2)·2·0+0·3·3-0·0·0-1·2·3-(-2)·3·1=0

    Минор второго порядка нулевым при этом не будет: 1-230=1·0-(-2)·3=6. Тогда мы можем принять его в качестве базисного минора.

    В итоге мы можем вычислить ранг основной матрицы системы x-2y+5=03x+2z-7=03y+z-11=0. Это будет 2. Третье уравнение исключаем из расчета и получаем:

    x-2y+5=03x+2z-7=03y+z-11=0x-2y+5=03x+2z-7=0

    Ответ: x-2y+5=03x+2z-7=0

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (18 голосов)