Прямая в пространстве – необходимые сведения, взаимное расположение двух прямых в пространстве

Прямая в пространстве – необходимые сведения

    Статья рассказывает о взаимном расположении линий в пространстве. Будут рассмотрены основные способы задания прямой с приведением примеров и наглядных рисунков.

    Прямая в пространстве – понятие

    Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.

    Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.

    Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:

    Определение 1
    • через две точки можно провести единственную прямую;
    • если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.

    Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:

    Определение 2

    Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.

    Взаимное расположение прямых в пространстве

    Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2.

    Определение 3

    Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.

    Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.

    Определение 4

    Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.

    Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.

    После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.

    Определение 5

    Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.

    Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.

    Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.

    Определение 6

    Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.

    Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.

    Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.

    Способы задания прямой в пространстве

    Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.

    Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.

    При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

    Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.

    Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.

    Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.

    Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.

    Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.

    В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter