Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.

В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое направляющий вектор прямой

Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Определение 1

Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Что такое направляющий вектор прямой

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если $\vec{a}$ является направляющий вектором прямой $a$ , то другой направляющий вектор мы можем обозначить как $t \cdot \vec{a}$ при любом значении $t$ , соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые $a$ и $a_{1}$ являются параллельными, то вектор $\vec{a}$ будет направляющим и для $a$ , и для $a_{1}$ .

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой $a$ , то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей $O x$ , $O y$ и $O z$ направляющими будут координатные векторы $\vec{i}, \vec{j}$ и $\vec{k}$ .

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой $O x y$ , а потом с системой $O x y z$ , расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в $O x y$ можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}}$ . С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором $\vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ .

Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.

Приведем пример задачи.

Пример 1

В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + \frac{1}{2}}{- 3}$ . Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.

Решение

Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: $(4, - 3)$ . Это и будет нужный нам ответ.

Ответ: $(4, - 3)$ .

Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.

Пример 2

У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 7 - 5 \cdot λ \end{cases}$ , при этом $λ \in R$ . Найдите координаты направляющих векторов.

Решение

Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде $\{\begin{cases} x = - 1 + 0 \cdot λ \\ y = 7 - 5 \cdot λ \end{cases}$ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – $\vec{a} = (0, 5)$ . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде $t \cdot \vec{a}$ или $(0, - 5 \cdot t)$ , где $t$ может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.

Ответ: $(0, - 5 \cdot t), t \in R, t \neq 0$

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида $A x + B y + C = 0$ . Если $A = 0$ , то исходное уравнение можно переписать как $B y + C = 0$ . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор $\vec{i} = (1, 0)$ .

А если $B = 0$ , то уравнение прямой мы можем записать как $A x + C = 0$ . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор $\vec{j} = (0, 1)$ также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

Пример 3

У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения $x - 2 = 0$ . Найдите координаты любого направляющего вектора.

Решение

В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор $\vec{j} = (0, 1)$ . Он будет для нее направляющим.

Ответ: $(0, 1)$

А как быть в случае, если ни один коэффициент в $A x + B y + C = 0$ не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.

2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.

3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой $\vec{n} = (A, B)$ .

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

Пример 4

Есть прямая на плоскости, заданная уравнением $3 x + 2 y - 10 = 0$ . Запишите координаты любого направляющего вектора.

Решение

Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме $3$ x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:

$3 x + 2 y - 10 = 0 \Leftrightarrow 3 x = - 2 y + 10$

Получившееся равенство преобразовываем и получаем:

$3 x = - 2 y + 10 \Leftrightarrow 3 x = - 2 (y - 5) \Leftrightarrow \frac{x}{- 2} = \frac{y - 5}{3}$

Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: $(-2, 3)$

Ответ: $(-2, 3)$

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ и уравнение прямой с угловым коэффициентом $y = k \cdot x + b$ , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Определение 2

Вектор $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ является направляющим для прямой, выраженной с помощью:

1) канонического уравнения прямой в пространстве $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}} = \frac{z - z_{1}}{a_{z}}$

2) параметрического уравнения прямой в пространстве $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}} = \frac{z - z_{1}}{a_{z}}$

Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.

Рассмотрим конкретную задачу.

Пример 5

Прямая в пространстве задана уравнением вида $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + \frac{1}{2}}{0} = \frac{z}{- 3}$ . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.

Решение

В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами $(4, 0, - 3)$ . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде $(4 \cdot t, 0, - 3 \cdot t)$ при условии, что $t$ является действительным числом.

Ответ: $(4 \cdot t, 0, - 3 \cdot t), t \in R, t \neq 0$

Пример 6

Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 + 2 \cdot λ \end{array} \\ z = - 4 - λ \end{cases}$ .

Решение

Перепишем данные уравнения в виде $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 2 + 0 \cdot λ \\ y = 1 + 2 \cdot λ \end{array} \\ z = - 4 - 1 \cdot λ \end{cases}$ .

Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.

Ответ: $(0, 2, - 1)$

Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида $\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases}$ ?

Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.

Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ , будет перпендикулярен нормальным векторам $\vec{n_{1}} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})$ и $\vec{n_{2}} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})$ . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов $\vec{n_{1}} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})$ и $\vec{n_{2}} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})$ .

$[\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}] = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \end{matrix}|$ - это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

Пример 7

Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения $\{\begin{cases} x + 2 y + 3 z - 1 = 0 \\ 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 \end{cases}$ .

Решение

Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей $x + 2 y + 3 z - 1 = 0$ и $2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0$ . У них следующие координаты: $(1, 2, 3)$ и $(2, 4, - 4)$ .

У нас получится:

$[\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}] = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & - 4 \end{matrix}| = \vec{i} \cdot 2 \cdot (- 4) + \vec{j} \cdot 3 \cdot 2 + \vec{k} \cdot 1 \cdot 4 - - \vec{k} \cdot 2 \cdot 2 - \vec{i} \cdot 3 \cdot 4 - \vec{j} \cdot 1 \cdot (- 4) = - 20 \cdot \vec{i} + 10 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$

Выходит, что вектор $[\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}] = - 20 \cdot \vec{i} + 10 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k} \Leftrightarrow [\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}] = (- 20, 10, 0)$ – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.

Ответ: $(- 20, 10, 0)$

В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.