Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач, общий вид уравнения прямой

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

    Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

    Общее уравнение прямой: основные сведения

    Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.

    Теорема 1

    Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.

    Доказательство 

    указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

    1. Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.

    Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.

    Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n=(A, B) и M0M=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y)  задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n=(A, B) и M0M=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.

    Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение Ax+By+C=0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

    1. Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени Ax+By+C=0.

    Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a; точку M0(x0, y0), через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n=(A, B).

    Пусть также существует некоторая точка M(x, y) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n=(A, B) и M0M=(x-x0, y-y0) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

    n, M0M=A(x-x0)+B(y-y0)=0

    Перепишем уравнение Ax+By-Ax0-By0=0, определим CC=-Ax0-By0 и в конечном результате получим уравнение  Ax+By+C=0.

    Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

    Определение 1

    Уравнение, имеющее вид Ax+By+C=0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

    Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

    Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой Ax+By+C=0.

    Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

    Пусть задано уравнение 2x+3y-2=0, которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n= (2, 3). Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

    Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2x+3y-2=0, поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

    Мы можем получить уравнение λ·Ax+λ·By+λ·C=0, умножив обе части общего уравнения прямой на число λ, не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

    Неполное уравнение общей прямой

    Определение 2

    Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой Ax+By+C=0, в котором числа А, В, С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

    Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

    1. Когда А=0, В0, С0, общее уравнение принимает вид By+C=0. Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую, которая параллельна оси Ox, поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение -CB . Иначе говоря, общее уравнение прямой Ax+By+C=0, когда А=0, В0, задает геометрическое место точек (x, y), координаты которых равны одному и тому же числу -CB.
    2. Если А=0, В0, С=0, общее уравнение принимает вид y=0. Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс Ox.
    3. Когда А0, В=0, С0, получаем неполное общее уравнение Ax+С=0, задающее прямую, параллельную оси ординат.
    4. Пусть А0, В=0, С=0, тогда неполное общее уравнение примет вид x=0, и это есть уравнение координатной прямой Oy.
    5. Наконец, при А0, В0, С=0, неполное общее уравнение принимает вид Ax+By=0. И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел (0, 0) отвечает равенству Ax+By=0, поскольку А·0+В·0=0.

    Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

    Пример 1

    Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 27, -11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

    Решение

    Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида Ax+C=0, в котором А0. Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения Ax+C=0, т.е. верно равенство:

    A·27+C=0

    Из него возможно определить C, если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A=7. В таком случае получим: 7·27+C=0C=-2. Нам известны оба коэффициента A и C, подставим их в уравнение Ax+C=0 и получим требуемое уравнение прямой: 7x-2=0

    Ответ: 7x-2=0

    Пример 2

     На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

    Решение

    Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси Ox и проходит через точку (0, 3).

    Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение By+С=0. Найдем значения B и C. Координаты точки (0, 3), поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой By+С=0, тогда справедливым является равенство: В·3+С=0. Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В=1, в таком случае из равенства В·3+С=0 можем найти С: С=-3. Используем известные значения В и С, получаем требуемое уравнение прямой: y-3=0.

    Ответ: y-3=0.

    Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

    Пусть заданная прямая проходит через точку М0(x0, y0), тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: Ax0+By0+C=0. Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A(x-x0)+B(y-y0)+C=0, это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М0(x0, y0) и имеет нормальный вектор n=(A, B).

    Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

    Пример 3

    Даны точка М0(-3, 4), через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой  n=(1, -2). Необходимо записать уравнение заданной прямой.

    Решение

    Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А=1, В=-2, x0=-3, y0=4. Тогда:

    A(x-x0)+B(y-y0)=01·(x-(-3))-2·y(y-4)=0x-2y+22=0

    Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид Ax+By+C=0. Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B, тогда:

    Ax+By+C=01·x-2·y+C=0x-2·y+C=0

    Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М0(-3, 4), через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x-2·y+C=0, т.е. -3 - 2·4+С=0. Отсюда С=11. Требуемое уравнение прямой принимает вид: x - 2·y + 11=0.

    Ответ: x - 2·y + 11=0.

    Пример 4

    Задана прямая 23x-y-12=0 и точка М0, лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна -3. Необходимо определить ординату заданной точки.

    Решение

    Зададим обозначение координат точки М0 как x0 и y0. В исходных данных указано, что x0=-3. Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

    23x0-y0-12=0

    Определяем y023·(-3)-y0-12=0-52-y0=0y0=-52

    Ответ: -52

    Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

    Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

    Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида Ax+By+C=0 к каноническому уравнению  x-x1ax=y-y1ay.

    Если А0, тогда переносим слагаемое By в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: Ax+CA=-By.

    Это равенство возможно записать как пропорцию: x+CA-B=yA .

    В случае, если В0, оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое Ax, прочие переносим в правую часть, получаем: Ax=-By-C. Выносим В за скобки, тогда: Ax=-By+CB.

    Перепишем равенство в виде пропорции: x-B=y+CBA                             .

    Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

    Пример 5

    Задано общее уравнение прямой 3y-4=0. Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

    Решение 

    Запишем исходное уравнение как 3y-4=0. Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0x; а в правой части выносим -3 за скобки; получаем: 0x=-3y-43.

    Запишем полученное равенство как пропорцию: x-3=y-430. Так, мы получили уравнение канонического вида.

    Ответ: x-3=y-430.

    Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

    Пример 6

    Прямая задана уравнением 2x-5y-1=0. Запишите параметрические уравнения этой прямой.

    Решение

    Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

    2x-5y-1=02x=5y+12x=5y+15x5=y+152

    Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ, тогда:

    x5=λy+152=λx=5·λy=-15+2·λ, λR

    Ответ: x=5·λy=-15+2·λ, λR

    Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b, но только тогда, когда В0. Для перехода в левой части оставляем слагаемое By, остальные переносятся в правую. Получим: By=-Ax-C. Разделим обе части полученного равенство на B, отличное от нуля: y=-ABx-CB.

    Пример 7

    Задано общее уравнение прямой: 2x+7y=0. Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

    Решение

    Произведем нужные действия по алгоритму:

    2x+7y=07y-2xy=-27x

    Ответ: y=-27x .

    Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида xa+yb=1. Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:

    Ax+By+C=0Ax+By=-CA-Cx+B-Cy=1x-CA+y-CB=1

    Пример 8

    Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x-7y+12=0 в уравнение прямой в отрезках.

    Решение

    Перенесем 12  в правую часть: x-7y+12=0x-7y=-12.

    Разделим на -1/2 обе части равенства: x-7y=-121-12x-7-12y=1.

    Преобразуем далее в необходимый вид: 1-12x-7-12y=1x-12+y114=1.

    Ответ: x-12+y114=1.

    В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

    Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

    xa+yb1ax+1by-1=0Ax+By+C=0y=kx+by-kx-b=0Ax+By+C=0

    Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

    x-x1ax=y-y1ayay·(x-x1)=ax(y-y1)ayx-axy-ayx1+axy1=0Ax+By+C=0

    Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λx-x1ax=y-y1ayAx+By+C=0

    Пример 9

    Заданы параметрические уравнения прямой x=-1+2·λy=4. Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

    Решение 

    Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

    x=-1+2·λy=4x=-1+2·λy=4+0·λλ=x+12λ=y-40x+12=y-40

    Перейдем от канонического к общему:

    x+12=y-400·(x+1)=2(y-4)y-4=0

    Ответ: y-4=0

    Пример 10

    Задано уравнение прямой в отрезках  x3+y12=1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

    Решение:

    Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

    x3+y12=113x+2y-1=0

    Ответ: 13x+2y-1=0.

    Составление общего уравнения прямой

    Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A(x-x0)+B(y-y0)=0. Там же мы разобрали соответствующий пример.

    Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

    Пример 11

    Задана прямая, параллельная прямой 2x-3y+33=0. Также известна точка M0(4, 1), через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

    Решение

    Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n=(2, -3): 2x-3y+33=0. Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

    A(x-x0)+B(y-y0)=02(x-4)-3(y-1)=02x-3y-5=0

    Ответ: 2x-3y-5=0.

    Пример 12

    Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x-23=y+45. Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

    Решение

    Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x-23=y+45.

    Тогда n=(3, 5). Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О(0, 0). Составим общее уравнение заданной прямой:

    A(x-x0)+B(y-y0)=03(x-0)+5(y-0)=03x+5y=0

    Ответ: 3x+5y=0.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter