Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве, уравнение плоскости и прямой в пространстве

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве

    Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

    Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

    Определение 1

    Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy – это линейное уравнение с переменными x и y, которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

    Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x, y, z, которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение Ax+By+Cz+D=0, где x, y, z – переменные, а А, В, С и D – некоторые действительные числа (А, В, С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

    Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

    Вспомним аксиому:

    Определение 2

    Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

    Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

    Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β, которые соответственно описываются уравнениями плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β, то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

    Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

    A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

    Общее же решение системы уравнений  _A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 определит координаты каждой точки прямой a, т.е. по сути задает саму прямую a.

    Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

    A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

    Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

    x+3y-21z+113y+14z-2=0

    Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

    Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

    Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

    Параметрические уравнения прямой в пространстве

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, где x1, y1, z1 – координаты некой точки прямой; аx, аy и az  (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а·λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

    Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел (x, y, z), соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ=0, тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

    x=x1+ax·0y=y1+ay·0z=z1+az·0x=x1y=y1z=z1

    Рассмотрим конкретный пример:

    Пример 1

    Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x=3+2·axy=-2·ayz=2+2·az.

    Заданная прямая проходит через точку М1(3, 0, 2); направляющий вектор этой прямой имеет координаты2, -2, 2.

    Ответ: 2, -2, 2,

    Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

    Канонические уравнения прямой в пространстве

    Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ относительно параметра λ, возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x-x1ax=y-y1ay=z-z1az.

    Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М1(x1, y1, z1), и у которой направляющий вектор равен a=(ax, ay, az). Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x-11=y2=z+57. Эта прямая проходит через точку с координатами (1, 0, -5), ее направляющий вектор имеет координаты (1, 2, -7).

    Отметим, что одно или два числа из чисел аx, аy и аz в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, где λR.

    Если одно из чисел аx, аy и az канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел аx, аy и az равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническими уравнениями x+43=y-52=z+20, лежит в плоскости z=-2, параллельной координатной плоскости Oxy, а координатная ось Oy описывается каноническими  уравнениями x0=y1=z0.

    Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter