Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач, найти множество точек координатной
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

    В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

    Общее уравнение плоскости: основные сведения

    Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x, y, и z, которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

    Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

    Теорема 1

    Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства, можно определить уравнением Ax + By + Cz + D = 0. В свою очередь, любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A, B, C, D – некоторые действительные числа, и числа A, B, C не равны одновременно нулю.

    Доказательство 

    Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

    1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0. Допустим, задана некоторая плоскость и точка M0(x0, y0, z0), через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n= (A, B, C). Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задает уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

    Возьмем произвольную точку заданной плоскости M(x, y, z).В таком случае векторы n= (A, B, C) и M0M=(x-x0, y-y0, z-z0) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

    n, M0M=Ax-x0+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)

    Примем D=-(Ax0+By0+Cz0) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: Ax + By + Cz + D = 0. Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

    1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства. Докажем это.

    В теореме также указано, что действительные числа А, B, C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M0(x0, y0, z0), координаты которой отвечают уравнению Ax + By + Cz + D = 0, т.е. верным будет равенство Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения Ax + By + Cz + D = 0. Получим уравнение вида

    A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0, и оно эквивалентно уравнению Ax + By + Cz + D = 0. Докажем, что уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает некоторую плоскость.

    Уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n=(A, B, C) и M0M=x-x0, y-y0, z-z0. Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 множество точек M(x, y, z) задает плоскость, у которой нормальный вектор n=(A, B, C). При этом плоскость проходит через точку M(x0, y0, z0). Иначе говоря, уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение Ax + By + Cz + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

    Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства.

    Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением Ax+By+Cz+D=0, поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x-2·y+3·z-7=0 и -2·x+4·y-23·z+14=0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства. 

    Раскроем чуть шире смысл теорем.

    В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0( при конкретных значениях чисел A, B, C, D). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

    Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

    Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4x + 5y  5z + 20 = 0, и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4x + 5y  5z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

    Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

    Повторимся: точка M0(x0, y0, z0) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением Ax+By+Cz+D=0 в том случае, когда подставив координаты точки M0(x0, y0, z0) в уравнение Ax+By+Cz+D=0, мы получим тождество.

    Пример 1

     Заданы точки M0(1, -1, -3) и N0(0, 2, -8) и плоскость, определяемая уравнением 2x+3y-z-2=0. Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

    Решение 

    Подставим координаты точки М0 в исходной уравнение плоскости:

    2·1+3·(-1)-(-3)-2=00=0

    Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M0(1, -1, -3) принадлежит заданной плоскости.

     Аналогично проверим точку N0. Подставим ее координаты в исходное уравнение:

    2·0+3·2-(-8)-2=012=0

    Равенство неверно. Таким, образом, точка N0(0, 2, -8) не принадлежит заданной плоскости.

    Ответ: точка М0 принадлежит заданной плоскости; точка N0 – не принадлежит.

    Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n=(A, B, C) - нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением  Ax+By+Cz+D=0. Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

    Пример 2

    В прямоугольной системе координат задана плоскость 2x+3y-z+5=0. Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

    Решение

    Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x, y, z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n исходной плоскости имеет координаты 2, 3, -1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

    λ·n=λ·2, λ·3, -λ, λR, λ0

    Ответ:  λ·2, λ·3, -λ, λR, λ0

    Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

    Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n=(A, B, C)является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M0(x0, y0, z0), принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

    Общее уравнение плоскости с нормальным вектором  n=(A, B, C) будет выглядеть так:  Ax+By+Cz+D=0. По условию задачи точка M0(x0, y0, z0) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство:Ax0+By0+Cz0+D=0

    Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения Ax0+By0+Cz0+D=0, получим уравнение вида A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормальный вектор n=(A, B, C).

    Возможно получить это уравнение другим способом.

    Очевидным фактом является то, что все точки М (x, y, z) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n=(A, B, C) и M0M=(x-x0, y-y0, z-z0) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

    n, M0M=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

    Пример 3

    Задана точка М0(-1, 2, -3), через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n=(3, 7, -5). Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

    Решение

    Рассмотрим два способа решения.

    1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

    x0=-1, y0=2, z0=-3, A=3, B=7, C=-5

    Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 

    И получим:

    3(x-(-1))+7(y-2)-5(z-(-3))=03x+7y-5z-26=0

    1. Допустим, М (x, y, z) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M0M по координатам точек начала и конца:

    M0M=(x-x0, y-y0, z-z0)=(x+1, y-2, z+3)

    Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

    n, M0M=03(x+1)+7(y-2)-5(z+3)=03x+7y-5z-26=0

    Ответ: 3x+7y-5z-26=0

    Неполное общее уравнение плоскости

    Выше мы говорили о том, что, когда все числа А, B, C, D отличны от нуля, общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

    Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

    1. В случае, когда D = 0, мы получаем общее неполное уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz=0

    Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О (0, 0, 0), то придем к тождеству:

    A·0+B·0+C·0=000

    1. Если А = 0, В  0, С  0, или А  0, В = 0, С 0, или А  0, В  0, С = 0, то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: By+Cz+D=0, или Ax+Cz+D=0, или Ax+By+D=0. Такие плоскости параллельны координатным осям Оx, Oy, Oz соответственно. Когда D=0, плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям Oyz, Oxz, Ozy соответственно.

    1. При А=0, В=0, С0, или А=0, В0, С=0, или А0, В=0, С=0 получим общие неполные уравнения плоскостей: Cz+D=0 z+DC=0z=-DCz=λ, λR или By+D=0y+DB=0y=-DBy=λ, λR или Ax+D=0x+DA=0x=-DAx=λ, λR соответственно.

    Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz, Oyz соответственно и проходят через точки 0, 0, -DC, 0, -DB, 0 и -DA, 0, 0 соответственно. При D=0 уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выглядят так: z=0, y=0, x=0

    соответственно.

    Пример 4

    Задана плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz и проходящая через точку М0(7, -2, 3). Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

    Р​​ешение

    У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz, а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости Ax+D=0, A0x+DA=0. Поскольку точка M0(7, -2, 3) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости  x+DA=0, иначе говоря, должно быть верным равенство  7+DA=0 . Преобразуем: DA=-7, тогда требуемое уравнение  имеет вид: x-7=0.

    Задачу возможно решить еще одним способом.

    Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости Oyz. Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости Oyz: i=(1, 0, 0). Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:                              

    A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=01·(x-7)+0·(y+2)+0·(z-3)=0x-7=0

    Ответ: x-7=0

    Пример 5

    Задана плоскость, перпендикулярная плоскости Oxy и проходящая через начало координат и точку М0(-3, 1, 2).

    Решение 

    Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy определяется общим неполным уравнением плоскости Ax+By+D=0 (А0, В0). Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D=0 и уравнение плоскости принимает вид Ax+By=0x+BAy=0.

    Найдем значение BA. В исходных данных фигурирует точка М0(-3, 1, 2), координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: -3+BA·1=0, откуда определяем BA=3.

    Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x+3y=0.

    Ответ: x+3y=0.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (16 голосов)