RLC-контур. Свободные колебания

RLC-контур. Свободные колебания

    RLC-контур

    Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный RLC-контур, изображенный на рис. 2.2.1.

    Рисунок 2.2.1. Последовательный RLC-контур.

    Находясь в положении 1, ключ К позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения δ. Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа К во второе положение и происходит через катушку индуктивности L и резистор R. При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.

    Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой RLC-цепи закон Ома представляет из себя выражение:

    JR+U=-LdJdt.

    В данной формуле U=qC – напряжение на конденсаторе, q является обозначением заряда конденсатора, а J=dqdt – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора q (t) берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в RLC-контуре уравнение может быть приведено к виду:

    q··+RLq·+1LCq=0.

    Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:

    q··+ω02q=0.

    Примем обозначение ω02=1LC. Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в LC- контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке 2.2.2. На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения x (t) груза и q (t) конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока J (t) и скорости груза υ (t) за период T=2πω0 колебаний.

    Рисунок 2.2.2. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

    Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.

    Электрические величины Механические величины
    Заряд конденсатора q (t) Координата x(t)
    Ток в цепи J=dqdt Скорость ν=dxdt
    Индуктивность L Масса m
    Величина, обратная электроемкости 1C Жесткость k
    Напряжение на конденсаторе U=qC Упругая сила kx
    Энергия электрического поля конденсатора q22C Потенциальная энергия пружины kx22
    Магнитная энергия катушки LI22 Кинетическая энергия mν22
    Магнитный поток LI Импульс mυ

    Свободные колебания

    Определение 1

    Свободные колебания в электрическом контуре носят название гармонических при условии отсутствия затухания.

    Такие колебания происходят по закону:

    q(t)=q0 cos(ωt+φ0).

    Параметры L и C колебательного контура определяют лишь собственную частоту свободных колебаний:

    ω0=1LC

    Определение 2

    «Начальными условиями», определяющими амплитуду q0 и начальную фазу φ0, называют тот способ, при помощи которого систему вывели из равновесия.

    Пример 1

    Например, для процесса колебаний, который начнется в контуре, изображенном на рисунке 2.2.1, после перевода ключа K в второе положение, q0=Cδ, φ0=0.

    Процесс свободных колебаниях провоцирует повторяющееся превращение запасенной в конденсаторе электрической энергии Wэ в магнитную энергию катушки Wм и наоборот. В ситуации, когда потери энергии равны нулю, полная электромагнитная энергия системы не претерпевает изменений:

    W=Wэ+Wм=q22C+LJ22=const

    Однако любой реально существующий контур, в отличие от идеального, включает в себя некоторое сопротивление R. По этой причине, процесс свободных колебаний в подобном контуре не подчиняется гармоническому закону. Запасенная в контуре энергия с каждым периодом колебаний теряется, превращаясь в джоулево тепло, из-за чего колебания становятся затухающими (рис. 2.2.3).

    Рисунок 2.2.3. Затухающие колебания в контуре.

    Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: Fтр=βυ.

    В данной формуле сопротивление R электрического контура аналогично коэффициенту β. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:

    q··+2δq·+ω02q=0

    Определение 3

    Коэффициентом затухания называется физическая величина δ=R2L.

    Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:

    q(t)=q0e-δtcos (ωt+φ0),

    Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель exp (δt). Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура.

    Определение 4

    Интервал времени τ=1δ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e2,7 раза, называется временем затухания.

    Понятие добротности Q колебательной системы: 

    Q=πN=πτT,

    где N является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания τ.

    Определение 5

    Любая добротность Q, относящаяся к колебательной системе, которая способна совершать свободные колебания, имеет следующее энергетическое определение: 

    Q=2πЗапас энергии в колебательной системеПотеря энергии за 1 период

    Добротность Q, принадлежащая RLC-контуру, выражают формулой: 

    Q=1RLC

    Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

    Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте ω0 идеального контура с такими же значениями L и C. Однако при Q(5÷10) данным различием можно пренебречь.

    Рисунок 2.2.4. Модель свободных колебаний в RLC-контуре.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (12 голосов)