Затухающие колебания в контуре и их уравнение
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

    Определение 1

    Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R, с емкостью конденсатора C, с катушкой индуктивности L, изображенный на рисунке 1. Колебания, происходящие в нем, - затухающие.

    Рисунок 1

    Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

    Характеристики затухающих колебаний

    Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β. Применив второй закон Ньютона, получим:

    ma=-kx-yv,d2xdt2+rmdxdt+kmx=0,ω02=km,β=r2m.

    Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ,

    Значение a (t) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а Ne - период времени уменьшения амплитуды в e раз.

    Для RLC контура применима формула с ω частотой.

    При небольшой δ1 говорят, что βω0 ω0=1LC - собственная частота, отсюда ωω0.

    При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

    Q=1RLC=ω0LR, где R, L и C - сопротивление, индуктивность, емкость, а ω0- частота резонанса. Выражение LC называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

    Q=RLC=Rω0L.

    R является входным сопротивлением параллельного контура.

    Определение 2

    Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

    Q=ω0WPd=2πf0WPd, называемое общей формулой.

    Уравнения затухающих колебаний

    Рассмотрим рисунок 1. Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

    q(t)=q0e(-βt)cosωt+a'0=q0e-βtcos(ωt).

    Если t=0, то заряд конденсатора становится равным q0, и ток в цепи отсутствует.

    Если R>2LC изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

    Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое Rk.

    rкр=2LC.

    Функция изображается аналогично рисунку 2.

    Рисунок 2

    Пример 1

    Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W (t) при W (t=0)=W0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β, а собственную частоту - ω0.

    Решение

    Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в RLC - контуре:

    q(t)=q0e(-βt)cosωt+a'0=q0e-βtcos(ωt).

    Предположим, что при t=0, a'0=0. Тогда применим выражение

    I=dqdt.

    Для нахождения I(t):

    I(t)=-ω0q0e(-2βt)sin(ωt+α), где tg α=βω.

    Очевидно, что электрическая энергия Wq запишется как:

    Wq=q22C=q022Ce(-2βt)cos2(ωt)=W0e(-2βt)cos2(ωt).

    Тогда значение магнитной энергии контура Wm равняется:

    Wm=L2ω02q02e(-2βt)sin2ωt+a=W0e-2βtsin2ωt+a.

    Запись полной энергии будет иметь вид:

    W=Wq+Wm=W0e(-2βt)(cos2(ωt)+sin2(ωt+a))==W0e(-2βt)1+βω0sin(2ωt+α).

    Где sin α=βω0.

    Ответ: W (t)=W0e(-2βt)1+βω0sin (2ωt+a).

    Пример 2

    Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W (t), при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

    Решение

    Если колебания в контуре затухают медленно, то:

    βω01.

    Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

    W (t)=W0e(-2βt)1+βω0sin (2ωt+a), предварительно преобразовав до W (t)=W0e(-2βt).

    Такое упрощение возможно по причине выполнения условия βω01, sin (2ωt+a)1, что означает βω0sin (2ωt+a)1.

    Рисунок 3

    Ответ: W (t)=W0e(-2βt). Энергия в контуре убывает по экспоненте.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (16 голосов)