Колебательный контур
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Колебательный контур

    Чаще всего в контур включают конденсатор определенной емкости, катушку индуктивности, сопротивление и источник сторонних ЭДС. На рисунке показана общая схема:

    Рисунок 1

    Определение 1

    При особом соотношении элементов в контуре могут возникать колебания. Тогда такая система получает название колебательного контура.

    Собственные колебания контура

    Определение 2

    Если системе в начальный момент времени сообщили определенное количество энергии, то она начинает совершать собственные колебания.

    Важно, что постоянный источник ЭДС при этом отсутствует.

    Определение 3

    Если собственные колебания вызваны наличием только квазиупругой силы, то они являются гармоническими.

    Пример 1

    Возьмем для примера ситуацию, когда в колебательном контуре отсутствует источник ЭДС. В таком случае уравнение колебательного контура можно записать в следующем виде:

    d2Idt2+ω02I=0.

    Решить уравнение можно, описав свободные колебания при сопротивлении, входящем в состав контура:

    I(t)=e-βt(Acos ωt+Bsin ωt).

    Здесь может быть указан косинус вместо синуса. В обоих случаях это будет верно, поскольку обе функции имеют соответствующий сдвиг. Если R>2LC, то изменения заряда нельзя считать колебаниями. Если β=0, то колебания в цепи становятся свободными. Если же β>0 и потери энергии на сопротивление незначительны, то такие колебания будут гармоническими. 

    Определение 4

    Заряд конденсатора, изменения которого нельзя считать колебаниями, называется апериодическим.

    Решение задач с колебательным контуром

    Пример 2

    Условие: дана схема цепи с конденсатором емкостью С, резистором, сопротивление которого равно R, и генератором тока I(t), который формирует ток следующего вида:

    I (t)=0 при t=0.

    Рисунок 2

    Запишите функцию данного конденсатора.

    Решение

    Для начала запишем формулу суммарного тока в цепи, воспользовавшись первым правилом Кирхгофа.

    I=IR+IC.

    Здесь показателем IR, IC обозначаются те токи, которые текут через конденсатор, преодолевая сопротивление, а l – это ток, вырабатываемый генератором.

    Поскольку на схеме указано параллельное соединение сопротивления и конденсатора, то запишем так:

    UR=UC=U.

    Далее нам необходимы будут следующие формулы:

    IR=UR, IC=CdUdt.

    Подставим это значение в нужное уравнение и получим следующее:

    CdUdt+UR=IdUdt+1RC(U-RI)=0.

    Примем напряжение на конденсаторе равным нулю при t=0 в качестве изначального условия. Тогда установившееся на нем позже напряжение будет равно:

    U'=I0R.

    Решением уравнения станет запись следующего вида:

    U(t)=U'-(U'-U(0))exp-tRC=I0R1-exp-tRC.

    Ответ: U(t)=I0R1-exp-tRC.

    Пример 3

    Условие: дана схема электрической цепи. Сопротивление резистора на ней равно R, емкость конденсатора – C. Также в ней есть генератор постоянного напряжения. Сформулируйте зависимость напряжения на конденсаторе от времени (U(t)) после замыкания ключа при условии, что конденсатор не заряжен изначально.

    Рисунок 3

    Решение

    Зная второе правило Кирхгофа, мы можем записать следующее:

    UC+UR=ε.

    Здесь показатели UC, UR выражают напряжение на сопротивлении и конденсаторе.

    Также нам известно, что:

    UR=RIR, IC=CdUCdt.

    На рисунке мы видим последовательное соединение элементов цепи, значит:

    I(t)=IR=IC.

    Выбрав направление обхода контура и учитывая все нужные формулы, получим:

    UC+RCdUCdt=εdUCdt+1RC(UC-ε).

    Вспомним начальные условия:

    UC(0)=0.

    Следовательно, решением данного уравнения является функция UC(t)=ε1-e-tRC.

    Ответ: UC(t)=ε1-e-tRC.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (20 голосов)