Возведение одночлена в степень: правило, примеры

Возведение одночлена в степень, правило, примеры

    Определение умножения одночлена на одночлен полагает возведение одночлена в степень.  В данной статье рассмотрим решение примеров с натуральным показателем со всеми нюансами.

    Правило произведения одночлена в степень

    Для возведения одночлена в степень необходимо разделить все действие на несколько этапов.

    Рассмотрим на решении многочлена стандартного вида 2·x·y5. При возведении в 3 степень получим, что  (2·x·y5)3. При подробном рассмотрении видно, что он состоит из множителей вида 2x и y5. Тогда можно проводить тождественное преобразование с применением свойств степени.

    На начальном этапе получаем, что (2·x·y5)3=23·x3·(y5)3, после чего производим замену (y5)3 на y15, тогда получим выражение вида 23·x3·(y5)3=23·x3·y15. Можно поработать  с возведением в степень числа 2. Получаем, что 23=8 можно заменить на 8·x3·y15. Это и есть многочлен стандартного вида.

    Определение 1

    Существуют правила возведения одночлена в степень:

    • произвести запись выражения;
    • применение свойства возведения произведения в степень;
    • применение свойства возведения степени в степень и вычислить степень чисел.
    Определение 2

    Результат возведения одночлена в степень является новым одночленом. При стандартном его виде при возведении также получим многочлен стандартного вида.

    Примеры

    Рассмотрим примеры решения на возведение многочленов в степень.

    Пример 1

    Возвести в степень многочлены (x·y)10,-14·x, (0,3·a2·b3·c4)3.

    Решение

    Чтобы возвести  в степень необходимо задействовать правило возведения в степень вида (x·y)10=x10·y10, тогда  видим, что полученное выражение не имеет степеней в степени. Тогда нужно переходить к следующему шагу. Получим, что

    -114·x2=-1142·x2

    Последнее выражение  имеет дробь вида -1142, которую необходимо заменить. Тогда -1142=-1142·x2=1916·x2, то -1142·x2=1916·x2

    Краткая запись выглядит таким образом:

    -114·x2=-1142·x2=1916·x2

    Теперь необходимо выполнить возведение произведения в степень:

    (0,3·a2·b3·c4)3=(0,3)3·(a2)3·(b3)3·(c4)3.

    После использования свойства степени получаем, что нужно произвести вычисление (0,3)3. Видно, что

    (a2)3=a2·3=a6, (b3)3=b3·3=b9, (c4)3=c4·3=c12 

    и 

    (0,3)3=(0,3)·(0,3)·(0,3)=0,027, тогда получим, что 0,027·a6·b9·c12.

    Краткое решение изображается таким образом: (0,3·a2·b3·c4)3=(0,3)3·(a2)3·(b3)3·(c4)3=0,027·a6·b9·c12.

    Ответ(x·y)10=x10·y10,-114·x=1916·x2 и (0,3·a2·b3·c4)3=0,027·a6·b9·c12

    Следующий пример покажет возведение в степень одночлена нестандартного вида.

    Пример 2

    Возвести в квадрат многочлен вида 2·x3·5·x.

    Решение

    По условию имеем, что многочлен записан не в стандартном виде. Значит, необходимо произвести возведение в квадрат. Тогда получим выражение вида (2·x3·5·x)2=22·(x3)2·52·x2=4·x6·25·x2. При полученном одночлене следует перейти к стандартному виду 100·x8.

    Исходное выражение запишем как 2·x3·5·x=10·x4, после чего выполним возведение во 2 степень. Получим: (10·x4)2=102·(x4)2=100·x8.

    Понятно, что результат эквивалентен. То есть для решения можно приводить выражение к стандартному виду либо решать  как дано по условию, результат будет один.

    Ответ: (2·x3·5·x)2=100·x8.

    При возведении в степень имеется нюанс при наличии минуса перед многочленом. Если имеем выражение типа a4·b7·c2, тогда получаем, что -1 является коэффициентом многочлена. Допускается его запись в явном виде.

    Пример 3

    Возвести в степень (x2·y4)3.

    Решение

    По условию имеем, что -1 является коэффициентом выражения, тогда необходимо сделать запись в явном виде: (x2·y4)3=(1·x2·y4)3. Действуя по правилам возведения в степень, получаем, что выражение принимает вид (1·x2·y4)3=(1)3·(x2)3·(y4)3=1·x6·y12. Наличие коэффициента -1 записывается  просто как x6·y12

    Искомое выражение имеет вид (x2·y4)3=(1·x2·y4)3=(1)3·(x2)3·(y4)3=1·x6·y12=x6·y12.

    Ответ:(x2·y4)3=x6·y12.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (17 голосов)