Группировка слагаемых и множителей: правило, примеры

Группировка слагаемых и множителей: правило, примеры

    В случае, если нам надо сложить три и более слагаемых, мы можем использовать метод тождественного преобразования, получивший название группировки слагаемых. Точно такой же метод существует и для умножения, если в примере заданы три множителя и больше. Целью этой статьи является разбор правил группировки в обоих случаях. Все теоретические положения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

    Что такое группировка слагаемых

    Мы можем выполнять группировку как в буквенных, так и в числовых выражениях тогда, когда у нас есть 3 слагаемых и более. Как нужно понимать этот термин?

    Группировка слагаемых основана на совместном рассмотрении нескольких слагаемых в исходной сумме. Иначе говоря, это объединение нескольких слагаемых в одну группу.

    Основное правило группировки слагаемых звучит так:

    Определение 1

    При выполнении группировки мы сначала переставляем слагаемые в исходной сумме таким образом, чтобы слагаемые одной группы были рядом, после чего заключаем их в скобки.

    На чем базируется данное правило? В его основе лежат переместительное и сочетательное свойство сложения.

    Разберем несколько примеров.

    Пример 1

    Допустим, у  нас есть сумма 3-х слагаемых 3+2+1, и нам нужно сгруппировать первое слагаемое со вторым. Перестановка в данном случае не потребуется, поскольку нужные слагаемые и так стоят рядом. Нам надо только добавить скобки в нужном месте: (3+2)+1. Вот и вся необходимая группировка, после которой можно переходить к вычислениям.

    Возьмем пример чуть сложнее.

    Пример 2

    Итак, мы имеем сумму 4-х слагаемых 1+8+2+9. Осуществим группировку в данном выражении, объединив первое и последнее, а также второе и третье слагаемое. Для этого нам надо переставить их так, чтобы нужные слагаемые расположились рядом друг с другом: 1+9+8+2. Все, что нам нужно сделать теперь, это добавить скобки в нужных местах: (1+9)+(8+2).

    Точно так же мы действуем, если вместо числового выражения задано выражение с переменными. Так, если в условии стоит сумма вида x+y3+3·y2+2·x2+y+12, то можно сделать группировку сначала всех слагаемых с x, а потом всех с y. В итоге у нас получится выражение вида (x+2·x2)+(y3+3·y2+y)+12.

    В целом группировка слагаемых– несложное действие. Некоторая трудность может быть в том, чтобы найти в исходном выражении саму сумму и отдельные слагаемые, из которых она состоит, особенно если выражение длинное и громоздкое. После нахождения слагаемых сгруппировать их будет легко.

    Пример 3

    К примеру, в выражении x+1·1x-2+x2+x+14+3·x-23 можно найти три слагаемых: x+1·1x-2, x2+x+14 и 3·x-23.

    После нахождения всех элементов можно объединить в группу первое и третье слагаемое и получить следующее выражение:

    x+1·1x-2+3·x-23+x2+x+14

    Также три слагаемых можно выделить и в дроби x2+x+14. Они расположены под знаком корня. Для них тоже можно провести группировку.

    Метод группировки необходим для рационального вычисления значений выражений. Кроме того, он широко используется для упрощения и многих других задач разной степени сложности.

    Например, если нам надо найти значение выражения 13+27+23+37, то удобно будет воспользоваться группировкой и объединить дроби с одинаковыми знаменателями. Так вычисление станет проще и быстрее:

    13+27+23+37=13+23+27+37=1+57=157

    Один из способов разложения многочлена на отдельные множители также основан на группировке слагаемых.

    Что такое группировка множителей

    Такая группировка проводится точно таким же образом, как и при сложении, единственная разница в том, что работать предстоит не с суммами, а с произведениями. Она основана на переместительном и сочетательном свойствах умножения.

    Определение 2

    Группировка множителей – это объединение в одну группу нескольких множителей.

    Процесс вычисления в данном случае проводится так же: сначала мы переставляем нужные множители так, чтобы они оказались рядом, а потом расставляем скобки.

    Пример 4

    Например, возьмем произведение 3·a·7·b и выполним группировку отдельно буквенных и числовых множителей. Сначала переставим их, чтобы нужные множители стояли рядом, а затем выделим их скобками. В итоге у нас получится выражение вида (3·7)·(a·b).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter