Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры

Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры

    Частный случай умножения многочлена на многочлен – умножение многочлена на одночлен. В этой статье сформулируем правило совершения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

    Правило умножения многочлена на одночлен

    Разберемся с тем, что является основой умножения многочлена на одночлен. Данное действие опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения. Буквенно это свойство записывается так: (a+b)·c=a·c+b·c (a, b и c – некоторые числа). В этой записи выражение (a+b)·c является как раз произведением многочлена (a+b) на одночлен c. Правая же часть равенства a·c+b·c - это сумма произведений одночленов  a и b на одночлен c.

    Приведенные рассуждения позволяют нам сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

    Определение 1

    Для осуществления действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

    • записать произведение многочлена и одночлена, которые необходимо перемножить;
    • умножить каждый член многочлена на заданный одночлен;
    • найти сумму полученных произведений.

    Дополнительно поясним приведенный алгоритм.

    Чтобы составить произведение многочлена на одночлен, исходный многочлен заключают в скобки; далее между ним и заданным одночленом ставится знак умножения. В случае, когда запись одночлена начинается со знака минус, его также необходимо заключить в скобки. К примеру, произведение многочлена 4·x2+x2 и одночлена 7·y запишем как (4·x2+x2)·7·y, а произведение многочлена a5·b6·a·b и одночлена 3·a2 составим в виде: (a5·b6·a·b)·(3·a2).

    Следующий шаг алгоритма – перемножение каждого члена многочлена на заданный одночлен. Составляющими многочлена служат одночлены, т.е. по сути нам необходимо выполнить умножение одночлена на одночлен. Допустим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение (2·x2+x+3)·5·x, тогда вторым шагом перемножаем каждый член многочлена 2·x2+x+3 с одночленом 5·x, получая таким образом: 2·x2·5·x=10·x3, x·5·x=5·x2 и 3·5·x=15·x. Результатом станут одночлены 10·x3, 5·x2 и 15·x.

    Последнее действие согласно правилу - сложение полученных произведений. Из предложенного примера, проделав данный шаг алгоритма, получим: 10·x3+5·x2+15·x.

    Стандартно все шаги записывают как цепочку равенств. Например, нахождение произведения многочлена 2·x2+x+3 и одночлена 5·x запишем так: (2·x2+x+3)·5·x=2·x2·5·x+x·5·x+3·5·x=10·x3+5·x2+15·x. Исключив промежуточное вычисление второго шага, краткое решение возможно оформить следующим образом: (2·x2+x+3)·5·x=10·x3+5·x2+15·x.

    Рассмотренные примеры дают возможность заметить важный нюанс: в результате перемножения многочлена и одночлена получается многочлен. Данное утверждение верно для любых перемножаемых многочлена и одночлена.

    По аналогии осуществляется умножение одночлена на многочлен: заданный одночлен перемножают с каждым членом многочлена и полученные произведения суммируются.

    Примеры умножения многочлена на одночлен

    Пример 1

    Необходимо найти произведение: 1,4·x2-3,5·y·-27·x.

    Решение

    Первый шаг правила уже выполнен – произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член многочлена на заданный одночлен. В данном случае удобно сначала перевести десятичные дробив обыкновенные. Тогда получим:

    1,4·x2-3,5·y·-27·x=1,4·x2·-27·x-3,5·y·-27·x==-1,4·27·x2·x+3,5·27·x·y=-75·27·x3+75·27·x·y=-25·x3+x·y

    Ответ: 1,4·x2-3,5·y·-27·x=-25·x3+x·y.

    Уточним, что, когда исходные многочлен и/или одночлен заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду.

    Пример 2

    Заданы многочлен 3+a2·a2+3·a2 и одночлен 0,5·a·b·(2)·a. Необходимо найти их произведение.

    Решение

    Мы видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших вычислений приведем их в стандартный вид:

    0,5·a·b·(2)·a=(0,5)·(2)·(a·a)·b=1·a2·b=a2·b3+a2·a2+3·a2=(32)+(a+3·a)2·a2=1+4·a2·a2

    Теперь осуществим перемножение одночлена a2·b на каждый член многочлена 1+4·a2·a2

    a2·b·(1+4·a2·a2)=a2·b·1+a2·b·4·a+a2·b·(2·a2)==a2·b+4·a3·b2·a4·b

    Мы могли бы не приводить исходные данные к стандартному виду: решение при этом оказалось бы более громоздким. При этом последним шагом возникал бы необходимость приведения подобных членов. Для понимания приведем решение по этой схеме:

    0,5·a·b·(2)·a·(3+a2·a2+3·a2)==0,5·a·b·(2)·a·30,5·a·b·(2)·a·a0,5·a··b·(2)·a·(2·a2)0,5·a·b·(2)·a·3·a0,5·a·b·(2)·a·(2)==3·a2·b+a3·b2·a4·b+3·a3·b2·a2·b=a2·b+4·a3·b2·a4·b

    Ответ: 0,5·a·b·(2)·a·(3+a2·a2+3·a2)=a2·b+4·a3·b2·a4·b.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (6 голосов)