Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

    В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

    Понятие вынесения множителя за скобки

    Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

    Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5·3 и 5·4, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5.

    В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

    Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5·3 и 5·4 и получим 5(3+4). Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5.

    Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a·(b+c)=a·b+a·c. Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

    Правило вынесения общего множителя за скобки

    Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

    Определение 1

    Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

    Пример 1

    Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3·7+3·23·5, которое является суммой трех слагаемых 3·7, 3·2 и общего множителя 3. Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3·(7+25). Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3·7+3·23·5=3·(7+25).

    Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3·x7·x+2 можно вынести переменную x и получить 3·x7·x+2=x·(37)+2, в выражении (x2+y)·x·y(x2+y)·x3  – общий множитель (x2+y) и получить в итоге (x2+y)·(x·yx3).

    Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

    Пример 2

    Так, к примеру, в выражении 6·x+4·y можно вынести общий множитель 2, не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2·3, а четыре как 2·2. То есть 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y). Или в выражении x3+x2+3·x можно вынести за скобки общий множитель x, который обнаруживается после замены x3 на x·x2. Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x·(x2+x+3).

    Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение 512·x+4·x·y. Перепишем выражение как (1) ·5+(1) ·12·x(1) ·4·x·y, чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим (5+12·x4·x·y). На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

    В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (12 голосов)