Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры

Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры

    Тема сводится  к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в  натуральную степень.

    Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство

    Перед тем, как начать возводить  в степень, необходимо углубить знания при помощи статьи  про степень с натуральным показателем, где имеется произведение одинаковых множителей, которые находятся в основании степени, причем их количество определено показателем. К примеру,  число 23=2·2·2=8.

    При возведении в степень чаще всего используем правило. Для этого в отдельности возводят в степень числитель и отдельно знаменатель. Рассмотрим на примере 232=2232=49. Правило применимо для возведения дроби в натуральную степень.

    При возведении алгебраической дроби в натуральную степень получаем новую, где числитель имеет степень исходной дроби, а знаменатель – степень знаменателя. Это все имеет вид abn=anbn , где а и b являются произвольными многочленами, b является ненулевым, а n натуральным числом.

    Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем. Тогда получаем умножение дробей вида abn=ab·ab·...·ab=a·a·...·ab·b·...·b=anbn

    Примеры, решения

    Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.

    Пример 1

    Произвести возведение дроби x23·y·z3 в квадрат.

    Решение

    Необходимо зафиксировать степень x23·y·z32.  По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x23·y·z32=x223·y·z32 . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида

    x223·y·z32=x2·232·y2·z32=x49·y2·z6

    Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что

    x23·y·z32=x223·y·z32=x49·y2·z6

    Ответ: x23·y·z32=x49·y2·z6.

    Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.

    Пример 2

    Возвести дробь 2·x-1x2+3·x·y-y  в квадрат.

    Решение

    Из правила имеем, что

    2·x-1x2+3·x·y-y2=2·x-12x2+3·x·y-y2

    Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых  в знаменателе, а  в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим:

    2·x-12x2+3·x·y-y2==2·x2-2·2·x·1+12x22+3·x·y2+-y2+2·x2·3·x·y+2·x2·(-y)+2·3·x·y·-y==4·x2-4·x+1x4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2

    Ответ: 2·x-12x2+3·x·y-y2=4·x2-4·x+1x4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2

    Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (16 голосов)