Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения

Для примера рассмотрим выражение вида $\frac{1}{x-y+z}$, где имеются три переменные. Иначе можно записать, как $x=0, y=1, z=2$, другая же запись имеет вид $(0,1,2)$. Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что $\frac{1}{0-1+2}=\frac{1}{1}=1$. Отсюда видим, что $(1,1,2)$ недопустимы. Подстановка дает  в результате деление на ноль, то есть $\frac{1}{1-2+1}=\frac{1}{0}$. 

Если имеем выражение вида $\frac{5}{z-3}$, тогда ОДЗ имеет вид $(-\infty , 3)\cup (3, +\infty )$. Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.

Если имеется выражения вида $\frac{z}{x-y}$, тогда видно, что $x\ne y, z$ принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить  при подстановке деление на ноль.

Найти ОДЗ выражения $x^3+2·x·y-4$.

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения $x$ и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: $x$ и $y$ – любые значения.

Найти ОДЗ выражения $\frac{1}{3}-\frac{x+1}{0}$.

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что  при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: $\varnothing$.

Найти ОДЗ заданного выражения $\sqrt{x+2·y+3}-5·x$.

Решение

Наличие квадратного корня (квадрат корня) говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида $x+2·y+3\ge 0$. То есть это и есть искомая область допустимых значений.

Ответ: множество $x$ и $y$, где $x+2·y+3\ge 0$.

Определить ОДЗ выражения вида $\frac{1}{\sqrt{x+1}-1}+{\log }_{x+8}(x^2+3)$.

Решение

По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что $\sqrt{x+1}-1\ne 0$ . Выражение под корнем всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть $x+1\ge 0$. Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть $x^2+3>0$. Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от $1$, тогда добавляем еще условия $x+8>0$ и $x+8\ne 1$.  Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+1}-1\ne 0,\\ x+1\ge 0, \\ {x}^2+3>0, \\ x+8>0, \\ x+8\ne 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ $[-1, 0)\cup (0, +\infty )$.

Ответ: $[-1, 0)\cup (0, +\infty )$

Если имеем выражение вида $x^2+x+3·x$, тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

Если взять пример выражения $\frac{x+3}{x}-\frac{3}{x}$, то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид $(-\infty , 0)\cup (0, +\infty )$. Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

Если имеется $\sqrt{\left(x-1\right)·\left(x-3\right)}$, тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства $(x-1)·(x-3)\ge 0$.  Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид $(-\infty , 1]\cup [3, +\infty )$. После преобразования $\sqrt{x-1}·\sqrt{x-3}$ и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида $\left\{\begin{array}{l}x-1\ge 0,\\ x-3\ge 0\end{array}\right.$. При ее решении получаем, что $[3, +\infty )$. Значит, ОДЗ полностью записывается так: $(-\infty , 1]\cup [3, +\infty )$.

Рассмотрим пример выражения $\sqrt{\left(x-1\right)·\left(x-3\right)}$, когда $х=-1$. При подстановке получим, что $\sqrt{\left(-1-1\right)·\left(-1-3\right)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Если это выражение преобразовать и привести к виду $\sqrt{x-1}·\sqrt{x-3}$, тогда при вычислении получим, что $\sqrt{2-1}·\sqrt{2-3}$ выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Рассмотрим на примере дроби вида $\frac{x}{x^3+x}$. Если сократить на $x$, тогда получаем, что $\frac{1}{x^2+1}$. Тогда ОДЗ расширяется и становится $(-\infty 0)\cup (0, +\infty )$. Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

Если имеется выражение вида $\ln x+\ln (x+3)$, его заменяют  на $\ln (x·(x+3\left)\right)$, опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с $(0, +\infty )$ до $(-\infty , -3)\cup (0, +\infty )$. Поэтому для определения ОДЗ $\ln (x·(x+3\left)\right)$ необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть $(0, +\infty )$ множества.