Бином Ньютона
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Бином Ньютона

    Бином Ньютона - формула

    Определение 1

    С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a+bn=Cn0+an+Cn1+an-1·b+Cn2+an-2·b2+...+Cnn-1+a·bn-1+Cnn·bn, где имеем, что Cnk=(n)!(k)!·(n-k)!=n(n-1)·(n-2)·...·(n-(k-1))(k)!- биномиальные коэффициенты, где есть n по k, k=0,1,2,,n, а "!" является знаком факториала.

    В формуле сокращенного умножения a+b2=C20·a2+C21·a1·b+C22·b2=a2+2ab+b2
    просматривается формула бинома Ньютона, так как при n=2 является его частным случаем.

    Первая часть бинома называют разложением (a+b)n, а Сnk·an-k·bk - (k+1)-ым членом разложения, где k=0,1,2, ,n.

    Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

    Представление биномиальных коэффициентов для различных n представляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы выглядит

    Показатель степени Биноминальные коэффициенты
    0           C00          
    1         C10   C11        
    2       C20   C21   C22      
    3     C30   C31   C32   C33    
       
    n Cn0   Cn1 Cnn-1   Cnn

    При натуральных n такой треугольник Паскаля в виде значений коэффициентов бинома:

    Показатель степени Биноминальные коэффициенты
    0               1              
    1             1   1            
    2           1   2   1          
    3         1   3   3   1        
    4       1   4   6   4   1      
    5     1   5   10   10   5   1    
       
    n Cn0   Cn1 Cnn-1   Cnn

    Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

    Доказательство формулы бинома Ньютона

    Имеются неравенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

    • коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле Cnp=Cnn-p, где р=0, 1, 2, , n;
    • Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
    • биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n;
    • при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

    Неравенство вида a+bn=Cn0+an+Cn1+an-1·b+Cn2+an-2·b2+...+Cnn-1+a·bn-1+Cnn·bn считается справедливым. Докажем его существование.

    Для этого необходимо применить метод математической индукции.

    Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

    1. Проверка справедливости разложения при n=3. Имеем, что
      a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
    2. Если неравенство верно при n-1, тогда выражение вида a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

    считается справедливым.

    1. Доказательство равенства a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1, основываясь на 2 пункте.
    Доказательство 1

    Выражению

    a+bn=a+ba+bn-1==(a+b)Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

    Необходимо раскрыть скобки, тогда получимa+bn=Cn-10·an+Cn-11·an-1·b+Cn-12·an-2·b2+...+Cn-1n-2·a2·bn-2++Cn-1n-1·a·bn-1+Cn-10·an-1·b+Cn-11·an-2·b2+Cn-12·an-3·b3+...+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

    Производим группировку слагаемых

    a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

    Имеем, что Cn-10=1 и Cn0=1, тогда Cn-10=Cn0. Если Cn-1n-1=1 и Cnn=1, тогда Cn-1n-1=Cnn. При применении свойства сочетаний Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1, получаем выражение вида

    Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1

    Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

    a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1=Cn-1n-1·bn

    После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn.

    Формула бинома доказана.

    Бином Ньютона - применение при решении примеров и задач

    Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

    Пример 1

    Разложить выражение (a+b)5 , используя формулу бинома Ньютона.

    Решение

    По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1, 5, 10, 10, 5, 1. То есть, получаем, что a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 является искомым разложением.

    Ответ: a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

    Пример 2

    Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a+b10.

    Решение

    По условию имеем, что n=10, k=6-1=5. Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

    Cnk=C105=(10)!(5)!·10-5!=(10)!(5)!·(5)!==10·9·8·7·6(5)!=10·9·8·7·61·2·3·4·5=252

    Ответ: Cnk=C105=252

    Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

    Пример 3

    Доказать значение 5n+28·n-1,при n, являющимся натуральным числом, делящимся на 16 без остатка.

    Решение

    Необходимо представить выражение в виде 5n=4+1n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

    5n+28·n-1=4+1n+28·n-1==Cn0·4n+Cn1·4n-1·1+...+Cnn-2·42·1n-2+Cnn-1·4·1n-1+Cnn·1n+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+n·4+1+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+32·n==16·(4n-2+Cn1·4n-3+...+Cnn-2+2·n)

    Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (18 голосов)