Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.

Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.

    Когда нам нужно выполнить дифференцирование показательно степенной функции вида y=(f(x))g(x) или преобразовать громоздкое выражение с дробями, можно использовать логарифмическую производную. В рамках этого материала мы приведем несколько примеров применения этой формулы.

    Чтобы понять эту тему, необходимо знать, как пользоваться таблицей производных, быть знакомым с основными правилами дифференцирования и представлять себе, что такое производная сложной функции.

    Как вывести формулу логарифмической производной

    Для получения этой формулы нужно сначала произвести логарифмирование по основанию e, а затем упростить получившуюся функцию, применив основные свойства логарифма. После этого надо вычислить производную неявно заданной функции:

    y=f(x)ln y=ln(f(x))(ln y)'=(ln(f(x)))'1y·y'=(ln(f(x)))'y'=y·(ln(f(x)))'

    Примеры использования формулы

    Покажем на примере, как это делается.

    Пример 1

    Вычислить производную показательно степенной функции переменной x в степени x.

    Решение

    Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем ln y=ln xx. С учетом свойств логарифма это можно выразить как ln y=x·ln x. Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:

    ln y=x·ln xln y'=x·ln x'1y·y'=x'·ln x+·ln x'y'=y·1·ln x+x·1x=y·(ln x+1)=xx·(ln x+1)

    Ответ: xx'=xx·(ln x+1)

    Такую задачу можно решить и другим способом, без логарифмической производной. Сначала нам надо преобразовать исходное выражение так, чтобы перейти от дифференцирования показательно степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:

    y=xx=eln xx=ex·ln xy'=(ex·ln x)'=ex·ln x·x·ln x'=xx·x'·ln x+x·(ln x)'==xx·1·ln x+x·1x=xx·ln x+1

    Рассмотрим еще одну задачу.

    Пример 2

    Вычислите производную функции y=x2+13x3·sin x.

    Решение

    Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную y'=y·ln(f(x))'. Поясним, почему такое вычисление удобнее.

    Начнем с нахождения ln(f(x)). Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:

    • логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
    • логарифм произведения можно представить в виде суммы;
    • если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.

    Преобразуем выражение:

    ln(f(x))=ln(x2+1)13x3·sin x12=ln(x2+1)13-ln(x3·sin x)12==13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x

    В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:

    (ln(f(x)))'=13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x'==13ln(x2+1)'-32ln x'-12ln sin x'==13(ln(x2+1))'-32(ln x)'-12(ln sin x)'==13·1x2+1·x2+1'-32·1x-12·1sin x·(sin x)'==13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x

    Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.

    Ответ: y'=y·ln(f(x))'=x2+13x3·sin x·13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x

    Чтобы закрепить материал, изучите еще пару следующих примеров. Здесь будут приведены только вычисления с минимумом комментариев.

    Пример 3

    Дана показательно степенная функция y=(x2+x+1)x3. Вычислите ее производную.

    Решение:

    y'=y·(ln(f(x)))'=(x2+x+1)x3·ln(x2+x+1)x3'==(x2+x+1)x3·x3·(x2+x+1)'==(x2+x+1)x3·x3'·ln(x2+x+1)+x3ln(x2+x+1)'==(x2+x+1)x3·3x2·ln(x2+x+1)+x3·1x2+x+1·x2+x+1'==(x2+x+1)x3·3x2·ln(x2+x+1)+x32x+1x2+x+1==(x2+x+1)x3·3x2·ln(x2+x+1)+2x4+x3x2+x+1

    Ответ: y'=y·(ln(f(x)))'=(x2+x+1)x3·3x2·ln(x2+x+1)+2x4+x3x2+x+1

    Пример 4

    Вычислите производную выражения y=x2+13·x+1·x3+14x2+2x+2.

    Решение 

    Применяем формулу логарифмической производной.

    y'=y·lnx2+13·x+1·x3+14x2+2x+2'==y·lnx2+13+lnx+1+lnx3+14-lnx2+2x+2'==y·13ln(x2+1)+12lnx+1+14ln(x3+1)-12ln(x2+2x+2)'==y·(x2+1)'3(x2+1)+x+1'2(x+1)+(x3+1)'4x3+1-x2+2x+2'2x2+2x+2==x2+13·x+1·x3+14x2+2x+2·2x3(x2+1)+12(x+1)+3x24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2)

    Ответ: 

    y'=x2+13·x+1·x3+14x2+2x+2·2x3(x2+1)+12(x+1)+3x24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter