Производная: основные определения и понятия

Производная, основные определения и понятия

    Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.

    Определение 1

    Пусть х – это аргумент функции f(x) и x возьмем малое число, не равное 0. Значение x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс». На рисунке видно, что красная линия относится для изменений аргумента от значения х до x+x.

    Определение 2

    Когда значение аргумента x0 переходит к x0+x, тогда и значение функции меняется от f(x0) до f(x0+x), если имеется условие монотонности функции из отрезка [x0;x0+x]. Приращение функции f(x) – это разность f(x0+x)-f(x0)=f(x) приращения аргумента. Это приведено на рисунке, расположенном ниже.

    Пример 1

    Для полного уяснения рассмотрим на конкретном примере. Если взять функцию f(x)=sin(x2), тогда следует зафиксировать точку x0=1.6 и приращение аргумента вида x=0.4. Тогда получим, что приращение функции при переходе от x0=1.6 к x0+x=1.6+0.4=2 будет равно:

    f(x)=sin(x2)=sin((x0+x)2)-sin(x02)==sin 22-sin 1.62=sin 4-sin 2.56-1.306

    Так как приращение f(x) отрицательное из отрезка [1.6; 2], то это указывает на убывание функции. Обозначим это графически.

    Определение производной функции в точке

    Когда функция вида f(x) определена из промежутка (a;b), тогда x0 и x0+x считаются точками данного промежутка. Производная функции f(x) в точке x0 - это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда x0. Данное определение записывается как f'(x0)=limx0f(x)x.

    Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.

    Функция f(x) дифференцируема в точке x0, если конечная производная в ней существует.

    Когда функция вида f(x) дифференцируема в каждой точке из промежутка (a;b), тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка (a;b) может принимать значения функции f'(x), иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f'(x), которая называется производной функции f(x) из интервала (a;b).

    Нахождение производной иначе называют дифференцированием

    Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.

    Пример 2

    Найти производную функции sin(2x) в точке x0=π6.

    Решение

    Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что

    (sin(2x0))'=limx0sin(2x0)x=limx0sin(2(x0+x))-sin(2x0)x==limx02·sin2(x0+x)-2x03·cos2(x0+x)+2x02x==2·limx0sin(x)·cos(2x0+x)x

    Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что

    (sin(2x0))'=2·limx0sin(x)·cos(2x0+x)x==2·limx0sin(x)x·limx0cos(2x0+x)==2·1·cos(2x0+0)=2cos(2x0)=2cos2·π6==2cosπ3=2·12=1

    Ответ: (sin(2x0))'=1.

    Пример 3

    Найти производную функции f(x)=3x3-1 из промежутка x133; +

    Решение

    Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией. Тогда x0=x, где значение х возьмем любое число из заданного промежутка x133; +. Из определения видно, что производной считают отношение приращения функции на приращение аргумента, который стремится к нулю. Запишем

    f'(x)=3x3-1'=limx0f(x+x)-f(x)x==limx03(3+x)3-1-3x3-1x=00

    Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что

    f'(x)=limx03(x+x)3-1-3x3-1x==limx0(3(x+x)3-1-3x3-1)(3(x+x)3-1+3x3-1)x·(3(x+x)3-1+3x3-1)==limx03(x+x)3-1-3x3-12x·3(x+x)3-1+3x3-1==limx03(x+x)3-1-(3x3-1)x·3(x+x)3-1+3x3-1==3·limx03x2+3xx+(x)23(x+x)3-1+3x3-1==3·3x2+3x·0+(0)23(x+0)3-1+3x3-1=9x223x3-1

    Ответ: 3x3-1'=9x223x3-1 и x133; +

    Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f(x) может не совпадать с областью определения производной этой функции. Предыдущий пример имеет область определения вида Dfx:x[133;+), а производная определена на интервале Dfx:x133;+. То есть при дифференцировании функция f'(x) - это производная заданной функции f(x) из промежутка xD(f(x))D(f'(x)).

    Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (19 голосов)