Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

    Ниже разберем способы, как решить линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше второго, имеющих постоянные коэффициенты. Подобные уравнения представлены записями y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=f(x), в которых f0, f1,..., fn-1 - являются действительными числами, а функция f(x) является непрерывной на интервале интегрирования X.

    Оговоримся, что аналитическое решение подобных уравнений иногда неосуществимо, тогда используются приближенные методы. Но, конечно, некоторые случаи дают возможность определить общее решение.

    Общее решение ЛОДУ и ЛДНУ

    Мы зададим формулировку двух теорем, показывающих, какого вида общих решений ЛОДУ и ЛНДУ n-ого порядка следует искать.

    Теорема 1

    Общим решением y0 ЛОДУ y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=0 на интервале
    X (коэффициенты f0(x), f1(x),..., fn-1(x) непрерывны на X) будет линейная комбинация
    n линейно независимых частных решений ЛОДУ yj, j=1, 2,..., n, содержащая произвольные постоянные коэффициенты Cj, j=1, 2,..., n, то есть y0=j=1nCj·yj.

    Теорема 2

    Общим решением y ЛНДУ y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=f(x) на интервале X (коэффициенты f0(x), f1(x),..., fn-1(x) непрерывны на X )  и функцией f(x) будет являться сумма y=y0+y~, где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=0, а y~ - некоторое частное решение исходного ЛНДУ.

    Итак, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, содержащего постоянные коэффициенты y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=f(x), нужно искать, как y=y0+y~, где y~ - некоторое его частное решение, а y0=j=1nCj·yj – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=0.

    В первую очередь рассмотрим, как осуществлять нахождение y0=j=1nCj·yj - общее решение ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами, а потом научимся определять частное решение y~ линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка при постоянных коэффициентах.

    Определение 1

    Алгебраическое уравнение n-ого порядка kn+fn-1·kn-1+...+f1·k+f0=0 носит название характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка, содержащего постоянные коэффициенты,  записи y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=0.

    Возможно определить n частных линейно независимых решений y1, y2,..., yn исходного ЛОДУ, исходя из значений найденных n корней характеристического уравнения k1, k2,..., kn.

    Методы решения ЛОДУ и ЛНДУ

    Укажем все существующие варианты и приведем примеры на каждый.

    1. Когда все решения k1, k2,..., kn характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+...+f1·k+f0=0 действительны и различны, линейно независимые частные решения будут выглядеть так:
      y1=ek1·x, y2=ek2·x,..., yn=ekn·x. Общее же решение ЛОДУ n-ого порядка при постоянных коэффициентах запишем как: y0=C1·ek1·x+C2·ek2·x+...+Cn·ekn·x.
    Пример 1

    Задано ЛОДУ третьего порядка, содержащее постоянные коэффициенты y'''-3y''-y'+3y=0. Определите его общее решение.

    Решение

    Cоставим характеристическое уравнение и найдем его корни, разложив предварительно многочлен из левой части равенства на множители, используя метод группировки:
    k3-3k2-k+3=0k2(k-3)-(k-3)=0(k2-1)(k-3)=0k1=-1, k2=1, k3=3

    Ответ: найденные корни являются действительными и различными, значит общее решение ЛОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами запишем как: y0=C1·e-x+C2ex+C3·e3x.

    1. Когда решения характеристического уравнения являются действительными и одинаковыми ( k1=k2=...=kn=k0), линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами буду иметь вид: y1=ek0·x, y2=x·ek0·x,..., yn=xn-1·ek0·x.

    Общее же решение ЛОДУ будет выглядеть так:
     y0=C1·ek0·x+C2·ek0·x+...+Cn·xn-1·ek0·x==ek0·x·C1+C2·x+...+Cn·xn-1

    Пример 2

    Задано дифференциальное уравнение: y(4)-8k(3)+24y''-32y'+16y=0. Необходимо определить его общее решение.

    Решение

    Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k4-8k3+24k2-32k+16=0.

    Преобразуем данное характеристическое уравнение, используя формулу бинома Ньютона, оно примет вид: k-24=0. Отсюда мы выделим его четырехкратный корень k0 = 2.

    Ответ: общим решением заданного ЛОДУ станет: y0=e2x·C1+C2·x+C3·x2+C4·x3

    1. Когда решения характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка при постоянных коэффициентах -  различные комплексно сопряженные пары α1±i·β1, α2±i·β2,..., αm±i·βmn=2m, линейно независимые частные решения такого ЛОДУ будут иметь вид:
      y1=eα1x·cos β1x, y2=eα1x·sin β1x,y3=eα2x·cos β2x, y4=eα2x·sin β2x,yn-1=eαmx·cos βmx, yn=eαmx·sin βmx

    Общее же решение запишем так:

    y0=eα1x·C1·cosβ1x+C2·sinβ1x++eα2x·C3·cosβ2x+C4·sinβ2x+...++eαmx·Cn-1·cosβmx+Cn·sinβmx

    Пример 3

    Задано ЛОДУ четвертого порядка при постоянных коэффициентах y(4)-6y(3)+14y''-6y'+13y=0. Необходимо его проинтегрировать.

    Решение

    Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k4-6k3+14k2-6k+13=0. Осуществим преобразования и группировки:

    k4-6k3+14k2-6k+13=0k4+k2-6k3+k+13k2+1=0k2+1k2-6k+13=0

    Из полученного результата несложно записать две пары комплексно сопряженных корней k1,2=±i и k3,4=3±2·i.

    Ответ: общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами запишется как:
    y0=e0·C1·cos x+C2·sin x+e3x·C3·cos 2x+C4·sin 2x==C1·cos x+C2·sin x+e3x·C3·cos 2x+C4·sin 2x

    1. Когда решения характеристического уравнения - это совпадающие комплексно сопряженные пары α±i·β,  линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами будут записи:
      y1=eα·x·cos β x, y2=eα·x·sin β x,y3=eα·x·x·cos β x, y4=eα·x·x·sin β x,yn-1=eα·x·xm-1·cos β x, yn=eα·x·xm-1·sin β x

    Общим решением ЛОДУ будет:

    y0=eα·x·C1·cosβ x+C2·sinβ x++eα·x·x·C4·cosβ x+C3·sinβ x+...++eα·x·xm-1·Cn-1·cosβ x+Cn·sinβ x==eα·x·cosβ x·C1+C3·x+...+Cn-1·xm-1++eα·x·sin β x·C2+C4·x+...+Cn·xm-1

    Пример 4

    Задано линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами y(4)-4y(3)+14y''-20y'+25y=0. Необходимо определить его общее решение.

    Решение

    Составим запись характеристического уравнения, заданного ЛОДУ, и определим его корни:

    k4-4k3+14k2-20k+25=0k4-4k3+4k2+10k2-20k+25=0(k2-2k)2+10(k2-2k)+25=0(k2-2k+5)2=0D=-22-4·1·5=-16k1, 2=k3, 4=2±-162=1±2·i

    Таким образом, решением характеристического уравнения будет двукратная комплексно сопряженная пара α±β·i=1±2·i.

    Ответ: общее решение заданного ЛОДУ: y0=ex·cos 2x·(C1+C3·x)+ex·sin 2x·(C2+C4·x)

    1. Встречаются различные комбинации указанных случаев: некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые - действительными и совпадающими, а какие-то - комплексно сопряженными парами или совпадающими комплексно сопряженными парами.
    Пример 5

    Задано дифференциальное уравнение y(5)-9y(4)+41(3)+35y''-424y'+492y=0. Необходимо определить его общее решение.

    Решение

    Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k5-9k4+41k3+35k2-424k+492=0.

    Левая часть содержит многочлен, который возможно разложить на множители. В числе делителей свободного члена определяем двукратный корень k1=k2=2 и корень k3=-3.

    На основе схемы Горнера получим  разложение: k5-9k4+41k3+35k2-424k+492=k+3k-22k2-8k+41.

    Квадратное уравнение k2-8k+41=0 дает нам оставшиеся корни k4, 5=4±5·i.

    Ответ: общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет: y0=e2x·C1+C2x+C3·e-3x+e4x·C4·cos 5x+C5·sin 5x

    Таким образом, мы рассмотрели основные случаи, когда возможно определить y0 - общее решение ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами.

    Следующее, что мы разберем – это ответ на вопрос, как решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами записи y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=f(x).

    Общее решение в таком случае составляется как сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного ЛНДУ: y=y0+y~. Поскольку мы уже умеем определять y0, остается разобраться с нахождением y~, т.е. частного решения ЛНДУ порядка n с постоянными коэффициентами.

    Приведем все способы нахождения y~ согласно тому, какой вид имеет функция f(x), находящаяся в правой части рассматриваемого ЛНДУ.

    1. Когда  f(x) представлена в виде многочлена n-ой степени f(x) = Pn(x), частным решением ЛНДУ станет: y~=Qn(x)·xγ. Здесь Qn(x) является многочленом степени n, а r – указывает, сколько корней характеристического уравнения равно нулю.
    2. Когда функция f(x) представлена в виде произведения многочлена степени n и экспоненты f(x)=Pn(x)·eα·x, частным решением ЛНДУ второго порядка станет: y~=eα·x·Qn(x)·xγ. Здесь Qn(x) является многочленом n-ой степени, r указывает, сколько корней характеристического уравнения равно α.
    3. Когда функция f(x) записана как f(x)=A1cos(βx)+B1sin(βx), где А1 и В1 – числа, частным решением ЛНДУ станет запись y~=Acosβx+Bsinβx·xγ. Здесь где А и В являются неопределенными коэффициентами, r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно ±iβ.
    4. Когда f(x)=eαx·Pn(x)sinβx+Qkxcosβx, то y~=eαx·Lmxsinβx+Nmxcosβx·xγ, где r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно α±iβPn(x), Qk(x), Lm(x) и Nm(x) являются многочленами степени n, k, m и m соответственно, m=max(n,k).

    Коэффициенты, которые неизвестны, определяются из равенства y~(n)+fn-1·y~(n-1)+...+f1y~'+f0·y~=f(x)

    Подробности нахождения решений уравнений в каждом из указанных случаев можно изучить в статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, поскольку схемы решения ЛНДУ степени выше второй полностью совпадают.

    Когда функция f(x) имеет любой иной вид, общее решение ЛНДУ возможно определить, используя метод вариации произвольных постоянных. Его разберем подробнее.

    Пусть нам заданы yj, j=1,2,..., n - n линейно независимые частные решения соответствующего ЛОДУ, тогда, используя различные вариации произвольных постоянных, общим решением ЛНДУ
    n-ого порядка с постоянными коэффициентами будет запись: н=j=1nCj(x)·yj. В нахождении производных функций Cj(x), j=1, 2,..., n поможет система уравнений:

    j=1nCj'(x)·yj=0j=1nCj'(x)·y'j=0j=1nCj'(x)·y''j=0j=1nCj'(x)·yj(n-2)=0j=1nCj'(x)·yj(n-1)=0

    а собственно функции Cj(x), j=1, 2,..., n найдем при последующем интегрировании.

    Разберем пример.

    Пример 6

    Задано ЛНДУ с постоянными коэффициентами: y'''-5y''+6y'=2x. Необходимо найти его общее решение.

    Решение

    Составим характеристическое уравнение: k3-5k2+6k=0. Корни данного уравнения: k1=0, k2=2 и k3=3. Таким образом, общим решением ЛОДУ будет запись: y0=C1+C2·e2x+C3·e3x, а частные линейно независимые решения это: y1=1, y2=e2x, y3=e3x.

    Варьируем произвольные постоянные: y=C1(x)+C2(x)·e2x+C3(x)·e3x.

    Чтобы определить C1(x), C2(x) и C3(x), составим систему уравнений:

    C'1(x)·y1+C'2(x)·y2+C'3(x)·y3=0C'1(x)·y'1+C'2(x)·y'2+C'3(x)·y'3=0C'1(x)·y''1+C'2(x)·y''2+C'3(x)·y''3=2xC'1(x)·1+C'2x·e2x'+C'3(x)·y3=0C'1(x)·1'+C'2x·e2x'+C'3(x)·e3x'=0C'1(x)·1''+C'2x·e2x''+C'3(x)·e3x''=2xC'1(x)·1+C'2x·e2x+C'3(x)·e3x=0C'1(x)·0+C'2(x)·2e2x+C'3(x)·3e3x=0C'1(x)·0+C'2(x)·4e2x+C'3(x)·9e3x=2x

    Решаем, используя метод Крамера:

    =1e2xe3x02e2x3e3x04e2x9e3x=18e2x·e3x-12e2x·e3x=6e5xC1'(x)=0e2xe3x02e2x3e3x2x4e2x9e3x=e5x·2xC'1(x)=C1'(x)=e5x·2x6e5x=16·2xC2'(x)=10e3x003e3x02x9e3x=-3ex·2xC'2(x)=C2'(x)=-3e3x·2x6e5x=-12·e-2x·2xC3'(x)=1e2x002e2x004e2x2x=2e2x·2xC'3(x)=C3'(x)=2e2x·2x6e5x=13·e-3x·2x

    Интегрируем C'1(x)=16·2x с помощью таблицы первообразных, а
    C'2(x)=-12·e-2x·2x и C'3(x)=13·e-3x·2x при помощи метода интегрирования по частям, получим:
    C1(x)=16·2xdx=16·2xln 2+C4C2(x)=-12·e-2x·2xdx=-12·e-2x·2xln 2-2+C5C3(x)=13·e-3x·2xdx=13·e-3x·2xln 2-3+C6

    Ответ: искомым общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:

    y=C1(x)+C2(x)·e2x+C3(x)·e3x==16·2xln 2+C4+-12·e-2x·2xln 2-2+C5·e2x++13·e-3x·2xln 2-3+C6·e3x

    где C4, C5 и C6 – произвольные постоянные.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (11 голосов)