Дифференцирование функции, нахождение производной

Дифференцирование функции, нахождение производной

    Если вам  нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.

    Таблица дифференцирования функции

    Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:

    Константа y=C

    C'=0

    Степенная фунция y=xp

    xp'=p·xp-1

    Показательная фунция

    y=axax'=ax·ln a

    В частности, при a=e имеем

    y=exex'=ex

    Правила дифференцирования

    С·f(x)'=C·f'(x), CR(f(x)±g(x)'=f'(x)±g'(x)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)f(x)g(x)'=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

    Логарифмическая функция

    logax'=1x·ln a

    В частности, при a=e имеем

    y=ln xln x'=1x

    Тригонометрические функции

    sin x'=cos xcos x'=-sin xtg x'=1cos2 xctg x'=-1sin2 x

    Производная сложной функции

    (f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x)

    Производная неявно заданной функции

    F(x, y)=0y'x=-F'x(x, y)F'y(x, y)

    Производная обратной функции

    g'y(y)=1f'x(x), f'x(x)=1g'y(y)

    Обратные тригонометрические функции

    arcsin x'=11-x2arccos x'=-11-x2arctg x'=11+x2arcctg x'=-11+x2

    Гиперболические функции

    sh x'=ch x(ch x)'=sh x(th x)'=1ch2 x(cth x)'=-1sh2 x

    Производная параметрически заданной функции

    x=φ(t), y=ψ(t), t(a; b)yx'=ψ'(t)φ'(t)yx''=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ'(t)3

    Логарифмическая производная

    y=f(x)y'=y·(ln(f(x)))'

    Пояснения таблицы

    Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.

    Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.

    Если надо вычислить производную суммы функций или их разности, произведения и дробного выражения с функцией, то нужно воспользоваться правилами дифференцирования. Они пригодятся при решении большинства задач. Таблица производных, основные правила дифференцирования и формула нахождения производной сложной функции позволят вам выполнить дифференцирование любой элементарной функции при условии, что она задана в явном виде y=f(x).

    В случае, когда нужно найти производную показательно степенной функции y=(f(x))g(x), удобно пользоваться формулой логарифмической производной. Также она полезна при нахождении производных тогда, когда исходное выражение представляет из себя большую и громоздкую дробь.

    Работу с функциями, заданными параметрически, т.е. в виде x=φ(t), y=ψ(t), ta;b, мы подробно разобрали в отдельной статье.

    Если функция задана неявно в виде F(x; y)=0, то тут возможны несколько методов нахождения производной. Можно провести вычисления, основываясь на понятии частных производных. Еще один вариант – вычислить производные обеих частей равенства, приняв y как функцию от x, после чего разрешить полученное уравнение относительно производной.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter