Правила дифференцирования: доказательство и примеры
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Правила дифференцирования: доказательство и примеры

    Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.

    Условимся заранее, что все функции f(x) и g(x), упомянутые здесь, будем считать дифференцируемыми на промежутке x, иными словами, для любого x0=xX будет справедливо равенство f'(x)=limx0f(x)x, g'(x)=limx0g(x)x. Здесь f(x)=f(x+x)-f(x), g(x)=g(x+x)-g(x) считаются приращениями указанных функций. Также это можно записать как f(x+x)=f(x)+f(x), g(x+x)=g(x)+g(x).

    Определение 1

    Сформулируем основные проблемы дифференцирования:

    1. Как вынести постоянный множитель за знак производной.
    2. Как вычислить производную суммы и производную разности.
    3. Как вычислить производную произведения функций.
    4. Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями).

    Разберем все эти случаи по порядку.

    C·f(x)'=C·f'(x), CR(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)f(x)g(x)'=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

    Как вынести постоянный множитель за знак производной

    Определение 2

    Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

    C·f(x)'=C·f'(x), CR

    Доказательство 1

    Используя определение производной, запишем следующее:

    C·f(x)'=limx0(C·f(x))x=limx0C·f(x+x)-C·f(x)x==limx0C·f(x+x)-f(x)x=limx0C·f(x)x

    Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела). Значит, C·f(x)'=limx0C·f(x)x=C·limx0f(x)x=C·f'(x).

    Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение. 

    Пример 1

    Дана функция y=2·cos x. Необходимо вычислить ее производную.

    Решение

    Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x'=-sin x.

    Вынесем множитель за знак производной и получим:

    y'=2·cos x'=2·cos x'=-2·sin x

    Ответ: y'=2·cos x'=2·cos x'=-2·sin x.

    Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

    Пример 2

    Продифференцировать функцию f(x)=log3x2-1.

    Решение

    Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что f(x)=log3x2-1=2-1·log3x. Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:

    f(x)=log3x2-1'=2-1·log3x'==2-1·log3x'=2-1x·ln 3

    Ответ: f(x)=2-1x·ln 3

    Пример 3

    Дана функция y=12-x+3. Вычислите ее производную.

    Решение

    Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

    y=12-x+3=12-x·23=2x23

    Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

    y'=2x23'=123·2x'=123·2x·ln 2=2x-3·ln 2

    Ответ: y'=2x-3·ln 2

    Как вычислить производную суммы и производную разности

    Чтобы доказать второе правило дифференцирования f(x)±g(x)'=f'(x)±g'(x), нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.

    Определение 3

    f(x)±g(x)'=limx0(f(x)±g(x))x==limx0fx+x±gx+x-(f(x)±g(x))x==limx0f(x+x)-f(x)±(g(x+x)-g(x))x==limx0f(x+x)-f(x)x±limx0g(x+x)-g(x)x==limx0f(x)x±limx0g(x)x=f'(x)±g'(x)

    Доказательство 2

    Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

    f1(x)±f2(x)±...±fn(x)'=f1'(x)±f2'±...±fn'(x)

    Пример 4

    Вычислить производную y=x3+3x+1-ln xln5+3.

    Решение

    Первым делом упрощаем данную функцию.

    y=x3+3x+1-ln xln5+3=x3+3·3x-ln(5+3)·ln x

    После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

    y'=(x3)'+3·3x'-ln5+3·ln x'

    Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

    y'=(x3)'+3·3x'-ln5+3·ln x'==(x3)'+3·3x'-ln(5+3)·ln x'

    Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

    y'=(x3)'+3·3x'-ln(5+3)·ln x'==3·x3-1+3·3x·ln 3-ln5+3x=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x

    Ответ: y'=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x

    Как вычислить производную произведения функций

    Определение 4

    Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: fx·g(x)'=f'(x)·g(x)'+f(x)·g'(x)

    Попробуем доказать его.  

    Доказательство 3

    Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f(x+x)=f(x)+f(x), g(x+x)=g(x)+g(x), а limx0g(x)=0, limx0f(x)=0, то есть если приращение аргумента стремится к 0, то и приращение функции также будет к нему стремиться.

    (f(x)·g(x))'=limx0(f(x)·g(x))x=limx0f(x+x)·g(x+x)-f(x)·g(x)x==limx0(f(x)+f(x))+(g(x)·g(x))-f(x)·g(x)x==limx0f(x)·g(x)+g(x)·f(x)+f(x)·g(x)+f(x)·g(x)-f(x)·g(x)x==limx0g(x)·f(x)+f(x)·g(x)+f(x)·g(x)x==limx0g(x)·f(x)x+limx0f(x)·gx+limx0f(x)x·limx0g(x)==g(x)·limx0f(x)x+f(x)·limx0g(x)x+f'(x)·0==f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

    Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

    Пример 5

    Продифференцируйте функцию y=tg x·arcsin x.

    Решение

    Здесь f(x)=tg x, g(x)=arcsin x. Можем воспользоваться правилом производной произведения:

    y'=(tg x·arcsin x)'=(tg x)'·arcsin x+tg x·(arcsin x)'

    Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

    y'=(tg x·arcsin x)'=(tg x)'·arcsin x+tg x·(arcsin x)'==arcsin xcos2x+tg x1-x2

    Ответ: y'=arcsin xcos2x+tg x1-x2

    Пример 6

    Дана функция y=exx3. Вычислите производную.

    Решение

    Здесь мы имеем f(x)=ex, g(x)=1x3=x-13. Значит,

    y'=exx3=ex·x-13'=ex'·x-13+ex·x-13==ex·x-13+ex·-13·x-13-1=exx3-exx43=exx3·1-1x

    Ответ: y'=exx3·1-1x

    Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

    Пример 7

    Продифференцируйте функцию y=(1+x)·sin x·ln x.

    Решение

    Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f(x) произведение (1+x)·sin x, а g(x)  ln x.

    У нас получится следующее:

    y'=((1+x)·sin x·ln x)'=1+x·sin x'·ln x+1+x·sin x·ln x'

    Чтобы найти 1+x·sin x', нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:

    1+x·sin x'=(1+x)'·sin x+1+x·(sin x)'

    С помощью этого правила и таблицы производных получим:

    1+x·sin x'=(1+x)'·sin x+1+x·(sin x)'==1'+x'·sin x+(1+x)·cos x=0+1·x1-1·sin x+(1+x)·cos x==(0+1)·sin x+1+x·cos x=sin x+cos x+x·cos x

    Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

    y'=1+x·sin x·ln x'=1+x·sin x'·ln x+(1+x)·sin x·(ln x)'==sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx

    Ответ: y'=sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx

    Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

    Пример 8

    Дана функция y=2·sh x-2x·arctg x, вычислите ее производную.

    Решение 

    Исходная функция является разностью выражений 2·sh x и 2x·arctg x, значит, y'=2·sh x-2x·arctg x'=2·sh x'-2x·arctg x'. Здесь можно вынести за знак производной число 2, а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:

    y'=2·sh x'-2x·arctg x'=2·sh x'-2x'·arctg x+2x·(arctg x)'==2·ch x-2x·ln 2·arctg x+2x1+x2=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2x1+x2

    Ответ: y'=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2x1+x2

    Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

    Определение 5

    Данное правило выглядит следующим образом: f(x)g(x)'=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x).

    Докажем его.  

    Доказательство 4

    Сразу отметим, что g(x) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

    f(x)g(x)'==limx0f(x)g(x)x=limx0f(x+x)g(x+x)-f(x)g(x)x=limx0f(x+x)·g(x)-g(x+x)·f(x)x·g(x+x)·g(x)==1g2(x)·limx0(f(x)+f(x))·g(x)-(g(x)+g(x))·f(x)x==1g2(x)·limx0f(x)·g(x)+g(x)·f(x)-f(x)·g(x)-f(x)·g(x)x==1g2(x)·limx0gx·f(x)-f(x)·g(x)x==1g2(x)·g(x)·limx0f(x)x-f(x)·limx0g(x)x==f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

    Пример 9

    Продифференцируйте функцию y=sin x2·x+1.

    Решение

    Эта функция является отношением двух выражений 2x+1 и sin x. Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:

    y'=sin x2·x+1'=sin x'·2·x+1-sin x·2·x+1'2·x+12

    После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

    y'=sin x'·2·x+1-sin x·2·x+1'2·x+12==cos x·(2·x+1)-sin x·2x'+1'(2·x+1)2=cos x·(2·x+1)-sin x·(2·x'+0)(2·x+1)2==cos x·2·x+1-sin x·(2·1·x1-1+0)(2·x+1)2=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2

    Ответ: y'=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2

    Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

    Пример 10

    Дана функция y=3ex-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x, где значение a является положительным действительным числом. Вычислите производную.

    Решение

    y'=3·ex'-x2·ln x-2·xax'+2sin x·arccos x'

    Поясним, как это получилось.

    Первым слагаемым будет 3·ex'=3·ex'=3·ex.

    Вычисляем второе:

    x2·ln x-2·xax'=x2·ln x-2·x·ax-x2·ln x-2·x·ax'ax2==x2·ln x'-2·x'·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x·ln x+x-2·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax

    Вычисляем третье слагаемое:

    2sin x·arccos x'=2·sin x·arccos x'==2·sin x'·arccos x+sin x·arccos x'==2·cos x·arccos x-sin x1-x2

    Теперь собираем все, что у нас получилось:

    y'=3·ex'-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x'==3·ex-x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax++2·cos x·arccos x-sin x1-x2

    В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

    После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (7 голосов)