Производная обратной функции

Производная обратной функции

    В этой статье мы расскажем, что из себя представляет производная обратной функции и как ее вычислить. Перед изучением данной темы советуем повторить, что такое обратная функция и какими свойствами она обладает.

    Чтобы избежать разночтений, мы будем обозначать аргумент функции, по которому она дифференцируется, в нижнем регистре, т.е. запись fx'(x) будет означать производную функции f(x) по x

    Для начала определим правило, по которому производится вычисление производной обратной функции.

    Определение 1

    Допустим, у нас есть две взаимно обратные функции x=g(y) и y=f(x), которые определены на соответствующих интервалах yc; d и x[a; b]. Если у нас есть некая точка x0[a; b], в которой расположена конечная производная f(x), отличная от 0, то должна быть и конечная производная g(y), такая, что gy'(y0)=1fx'(x0). Иначе это можно записать как fx'(x0)=1gy'(y0).

    Данное правило может быть сформулировано для любого x, принадлежащего интервалу [a; b]. Тогда мы получим следующее: gy'(y0)=1fx'(x0)fx'(x0)=1gy'(y0). Истинность этих формул можно проверить с помощью следующих рассуждений.

    Доказательство 1

    У нас есть натуральный логарифм вида y=f(x)=ln x, где y является функцией, а x – аргументом. Найдем его обратную функцию. Для этого нам потребуется разрешить уравнение относительно x. Получим x=g(y)=ey (здесь x будет функцией, а y – ее аргументом). Значит, функции x=g(y)=ey и y=f(x)=ln x по отношению друг к другу являются взаимно обратными.

    Проверим значения в таблице производных: yx'=fx'(x)=ln xx'=1x, а xy'=gy'(y)=eyy'=ey.

    Тот же результат мы получим при использовании формулы обратных производных:

    gy'(y)=1fx'(x)=1(ln x)x'=11x=x=eyfx'(x)=1gy'(y)=1eyy'=1ey=1eln x=1x

    Поскольку полученный результат соответствует значению, указанному в таблице производных, то данная формула будет верна.

    Используя эти знания, мы можем перейти к доказательству формул производных обратных тригонометрических функций.

    Производные функции арксинус и арккосинус

    Первое, что мы сделаем, – научимся определять производную функции арксинус.

    Пример 1

    Поскольку y=arcsin x, x-1; 1, то обратная функция будет выглядеть как x=sin y, y-π2; π2.

    Берем нужную формулу и вычисляем:

    yx'=(arcsin x)x'=1(sin y)y'=1cos y=1cos(arcsin x)

    Теперь нам надо преобразовать полученное выражение.

    Поскольку область значения арксинуса представляет собой промежуток arcsin x-π2; π2, значит, cos(arcsin x)0 (при необходимости повторите материал об основных элементарных функциях, их свойствах и графиках).

    Следовательно, cos(arcsin x)=1-sin2(arcsin x)-1-x2. Выражение cos(arcsin x)=1-sin2(arcsin x)-1-x2 мы рассматривать не будем.

    Мы получили, что arcsin xx'=1cos (arcsin x)=11-x2.

    Производная арксинуса определена на промежутке (-1; 1).

    Для функции арккосинус все вычисления будут точно такими же.

    Пример 2

    yx'=(arccos)x'=1(cos y)y'=1-sin y=-1sin (arccos x)==-11-cos2(arccos x)=-11-x2

    Производные функции арктангенс и арккотангенс

    Теперь вычислим производную арктангенса.

    Пример 3

    Поскольку для y=arctg x, x(-; +) обратной функцией будет x=tg y, y-π2; π2, то y'x=arctg xx'=1(tg y)y'=11cos2y=cos2(arctg x).

    Для упрощения результата нужно выразить арктангенс через арккосинус.

    Допустим, что arctg x = z, значит:

    tg(arctg x)=tg zx= tg z=sin zcos z=1-cos2zcos zx·cos z=1-cos2 zx2·cos2z=1-cos2z(x2+1)·cos2z=1cos2z=1x2+1cos z=1x2+1z=arccos1x2+1arctg x=arccos1x2+1

    Следовательно, можно записать так:

    arctg xx'=cos2(arctg x)==cos2arccos1x2+1=1x2+12=1x2+1

    Для вычисления производной арккотангенса действуем по аналогии:

    Пример 4

    yx'=(arcctg x)x'=1(ctg y)y'=1-1sin2y=-sin2(arcctg x)==-sin2arcsin 1x2+1=-1x2+1

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter