Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

    Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

    Определения и понятия

    Определение 1

    Угол наклона прямой y=kx+b называется  угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.

    На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

    Определение 2

    Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.

    Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.

    • Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и  угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
    • Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
    • Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
    • Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
    Определение 3

    Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

    По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α - красная дуга, означающая угол наклона секущей.

    Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

    Определение 4

    Получаем формулу для нахождения секущей вида:

    k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) - это значения функции в этих точках.

    Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
    y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).

    Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

    По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

    Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

    Определение 5

    Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0),  с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.

    Пример 1

    Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке  с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

    Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.

    Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

    Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.

    Определение 6

    Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть BA.

    Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

    Геометрический смысл производной функции в точке

    Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+x, f(x0+x), а x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид y=f(x)=f(x0+x)-f(x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

    Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение yx=tg α. Из определения касательной следует, что limx0yx=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где x0, тогда обозначим как f(x0)=limx0yx.

    Отсюда следует, что f'(x0)=limx0yx=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

    То есть получаем, что f(x) может существовать  в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной  в точке равняется производной  в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).

    Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

    Уравнение касательной прямой

    Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.

    Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).

    Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limxx0+0f'(x)= и limxx0-0f'(x)= или отсутствие вовсе при условии limxx0+0f'(x)limxx0-0f'(x).

    Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу - kx=, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.

    Пример 2

    Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке  с координатами (1; 3) с определением угла наклона.

    Решение

    По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.

    Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что

    y'=ex+1+x33-6-33x-17-33'==ex+1'+x33'-6-33x'-17-33'=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33

    Значение f(x) в точке касания является  угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

    Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33

    Отсюда следует, что αx=arctg33=π6

    Ответ: уравнение касательной приобретает вид

    y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33

    Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

    Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает  в увеличенном виде.

    Пример 3

    Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
    y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.

    Решение

    По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

    Перейдем к нахождению производной

    y'=3·x-15+1'=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45

    Если x0=1, тогда f(x) не определена, но пределы записываются как  limx1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+ и limx1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).

    Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.

    Для наглядности изобразим графически.

    Пример 4

    Найти точки графика функции y=115x+23-45x2-165x-265+3x+2, где

    1. Касательная не существует;
    2. Касательная располагается параллельно ох;
    3. Касательная параллельна прямой y=85x+4.

    Решение

    Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x-; 2 и [-2; +). Получаем, что

    y=-115x3+18x2+105x+176, x-; -2115x3-6x2+9x+12, x[-2; +)

    Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

    y'=-115x3+18x2+105x+176', x-; -2115x3-6x2+9x+12', x[-2; +)y'=-15(x2+12x+35), x-; -215x2-4x+3, x[-2; +)

    Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

    limx-2-0y'(x)=limx-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx-2+0y'(x)=limx-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3

    Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что

    1. y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
    2. Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции  обращает ее в ноль. То есть значения f(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.

    Когда x-; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x(-2; +) получаем 15(x2-4x+3)=0.

    Решим:

    -15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4x1=-12+42=-5-; -2x2=-12-42=-7-; -2   15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4x3=4-42=1-2; +x4=4+42=3-2; +

    Вычисляем соответствующие значения функции

    y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43

    Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.

    Рассмотрим графическое изображение решения.

    Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

    1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x-; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x(-2; +), тогда 15(x2-4x+3)=85.

    Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

    -15x2+12x+35=85x2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0

    Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

    15(x2-4x+3)=85x2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36x1=4-362=-1-2; +x2=4+362=5-2; +

    Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

    y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83

    Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.

    Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные  в точках -1; 415, 5; 83.

    Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

    Пример 5

    Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.

    Решение

    Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой  и равняется k=-2, тогда kx=-1k=-1-2=12.

    Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной  в точке
    x0 получаем, что kx=y'(x0).  Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

    Получаем, что

    y'(x0)=3cos32x0-π4-13'=3·-sin32x0-π4·32x0-π4'==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4kx=y'(x0)-92·sin32x0-π4=12sin32x0-π4=-19

    Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

    32x0-π4=arcsin-19+2πk или 32x0-π4=π-arcsin-19+2πk

    32x0-π4=-arcsin19+2πk или 32x0-π4=π+arcsin19+2πk

    x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, kZ

    Z- множество целых чисел.

    Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:

    y0=3cos32x0-π4-13

    y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13

    y0=3·1--192-13 или y0=3·-1--192-13

    y0=45-13 или y0=-45+13

    Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.

    Ответ: необходимы уравнения запишутся как

    y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, kZ

    Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

    Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.

    Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

    Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

    Касательная к окружности

    Для задания окружности  с центром  в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.

    Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

    y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter

    Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

    Для составления уравнения окружности  в точке x0; y0, которая располагается  в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.

    Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а  в точках xcenter+R; ycenter и
    xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.

    Касательная к эллипсу

    Когда эллипс имеет центр  в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.

    Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

    y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter

    Если  касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

    Пример 6

    Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.

    Решение

    Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

    x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1y-52=34·25y=±532+5

    Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

    Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что

    x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32

    Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.

    Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид

    y'=5+524-x-32'=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2'==-52·x-34-(x-3)2y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523y=y'(x0)·x-x0+y0y=523(x-2)+532+5

    Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
    2; -532+5 принимает вид

    y'=5-524-(x-3)2'=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2'==52·x-34-(x-3)2y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523y=y'(x0)·x-x0+y0y=-523(x-2)-532+5

    Графически касательные обозначаются  так:

    Касательная к гиперболе

    Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.

    Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

    y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter

    В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.

    Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

    Пример 7

    Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.

    Решение

    Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

    x-324-y+329=1y+329=x-324-1y+32=9·x-324-1y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3

    Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.

    Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

    Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

    Получаем, что

    y'=-32·(x-3)2-4-3'=-32·x-3(x-3)2-4kx=y'(x0)=-32·x0-3x0-32-4x0=7=-32·7-37-32-4=-3

    Ответ: уравнение касательной можно представить как

    y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3

    Наглядно изображается так:

    Касательная к параболе

    Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.

    Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

    x=ay2+by+cay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

    Графически изобразим как:

    Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.

    Пример 8

    Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.

    Решение

    Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

    -2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4

    Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

    Получаем:

    kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13

    Отсюда определим значение х для точек касания.

    Первая функция запишется как

    y'=5+49-8x-4'=149-8xy'(x0)=149-8x0=-1349-8x0=-3

    Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.

    Вторая функция запишется как

    y'=5-49-8x-4'=-149-8xy'(x0)=-149-8x0=-1349-8x0=-3x0=234y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34

    Имеем, что точки касания - 234; -5+34.

    Ответ: уравнение касательной принимает вид

    y=-13·x-234+-5+34

    Графически изобразим это таким образом:

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (10 голосов)