Уравнение плоскости в отрезках: описание, примеры, решение задач, уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости в отрезках: описание, примеры, решение задач

    Данный раздел будет полностью посвящен теме «Уравнение плоскости в отрезках». Мы последовательно рассмотрим, какой вид имеет уравнение плоскости в отрезках, применение этого уравнения для построения заданной плоскости в прямоугольной системе координат, переход от общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках. В статье мы рассмотрим большое количество примеров, которые облегчат усвоение информации.

    Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры

    Уравнение плоскости в отрезках имеет вид xa+yb+zc=1 , где a, b и c – это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат Oх, Oу и Oz в трехмерной системе координат Oхуz. Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.

    Действительно, координаты точек a, 0, 0, 0, b, 0, 0, 0, c  удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

    aa+0b+0c=1=11=10a+bb+0c=1=11=10a+0b+cc=1=11=1

    Поясним этот момент, расположив заданные точки на графике.

    Проиллюстрируем описанное выше примером.

    Пример 1

    Плоскость проходит через точки -2, 0, 0, 0, 3, 0 и 0, 0, -12 на осях координат в прямоугольной системе координат Oxyz. Необходимо записать уравнение плоскости в отрезках.

    Решение

    Определим положение отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. На оси абсцисс откладываем в отрицательном направлении отрезок длиной 2 единицы. На оси ординат в положительном направлении откладываем отрезок длиной 3 . На оси аппликат в отрицательном направлении откладываем отрезок длиной 12 .

    При этом, уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид: x-2+y3+z-12=1 .

    Ответ: x-2+y3+z-12=1

    Уравнение плоскости в отрезках удобно использовать для построения чертежей. Проиллюстрируем это утверждение примером.

    Пример 2

    Плоскость в прямоугольной системе координат Oхуz задана уравнением плоскости в отрезках вида x-5+y-4+z4=1 . Необходимо изобразить эту плоскость на графике.

    Решение

    Изобразим оси координат, обозначаем начало координат и единичные отрезки на осях. Отмечаем длины отрезков, отсекаемых плоскостью, на каждой из осей. Соединяем концевые точки отрезков прямыми линиями. Полученная плоскость имеет вид треугольника. Она соответствует заданному уравнению плоскости в отрезках x-5+y-4+z4=1 .

    Ответ:  

    Плоскость может быть задана уравнением плоскости другого вида. Для того, чтобы изобразить заданную плоскость на чертеже, можно сначала перейти к уравнению плоскости в отрезках. Получив уравнение плоскости в отрезках, нам останется лишь отметить точки a, 0, 0, 0, b, 0, 0, 0, c и соединить их прямыми линиями.

    Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

    Мы имеем общее уравнение плоскости в пространстве вида Ax+By+Cz+D=0 . И мы можем получить уравнение плоскости в отрезках. Сделать это можно в том случае, если плоскость пересекает все координатные оси, причем не в начале координат.

    Не получится перевести общее уравнение плоскости в пространстве в уравнение плоскости в отрезках в тех случаях, когда плоскость проходит через одну из координатных осей или располагается параллельно оси. Другими словами, мы можем работать лишь с полным уравнением плоскости вида Ax+By+Cz+D=0, где A0, B0, C0, D0 .

    Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в пространстве производится следующим образом. Переносим слагаемое D в правую часть уравнения с противоположным знаком.

    Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz=-D

    Так как D0 , то обе части полученного уравнения можно разделить на D:  A-Dx+B-Dy+C-Dz=1 .

    Так как A0, B0, C0 , то мы можем отправить в знаменатели коэффициенты перед переменными x, y и z. Последнее уравнение эквивалентно равенству x-DA+y-DB+z-DC=1 . При этом мы использовали очевидное равенство pq=1qp, p, qR, p0, q0 .

    В итоге, мы получаем уравнение плоскости в отрезках. Это становится хорошо видно в том случае, если обозначить -DA=a, -DB=b, -DC=c.

    Разберем решение примера.

    Пример 3

    Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве задана уравнением вида 3x+9y-6z-6=0 . Переведем это уравнение в уравнение плоскости в отрезках.

    Решение

    Данное в условии задачи уравнение является полным уравнением плоскости. Это дает нам возможность привески его к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем -6 в правую часть равенства, а затем разделим обе части равенства на 6:

    3x+9y-6z-6=03x+9y+6z=63x+9y-6z=612x+32y-z=1

    Коэффициенты при переменных x, y и z отправим в знаменатели: 12x+32y-z=1x2+y23+z-1=1 . Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках.

    Ответx2+y23+z-1=1

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (9 голосов)