Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение и примеры нахождения

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение и примеры нахождения

    Материал данной статьи позволяет получить навык определения расстояния между двумя параллельными плоскостями при помощи метода координат. Дадим определение расстояния между параллельными плоскостями, получим формулу для его расчета и рассмотрим теорию на практических примерах.

    Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение

    Определение 1

    Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из рассматриваемых параллельных плоскостей до другой плоскости.

    Пусть заданы две параллельные плоскости ϒ1 и ϒ2. Из произвольной точки М1 плоскости ϒ1 опустим перпендикуляр М1Н1 на другую плоскость ϒ2. Длина перпендикуляра М1Н1 и будет являться расстоянием между заданными плоскостями.

    Указанное определение расстояния между параллельными плоскостями имеет взаимосвязь со следующей теоремой.

    Теорема

    Если две плоскости параллельны, то все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одном и том же расстоянии от другой плоскости.

    Доказательство

    Допустим, заданы две параллельные плоскости ϒ1 и ϒ2. Для получения доказательства теоремы необходимо доказать, что перпендикуляры, опущенные из различных произвольных точек одной плоскости к другой плоскости, равны. Пусть будут заданы некоторые произвольные точки М1 и М2 на плоскости ϒ1, и из них опущены перпендикуляры М1Н1 и М2Н2 на плоскость ϒ2. Таким образом, нам предстоит доказать, что М1Н1 = М2Н2.

    Прямые М1Н1 и М2Н2 параллельны, поскольку перпендикулярны одной плоскости. Опираясь на аксиому о единственной плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой, можем утверждать, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Будем считать, что существует некоторая плоскость ϒ3, проходящая через две параллельные прямые М1Н1 и  М2Н2. Очевидным фактом является то, что плоскость ϒ3 пересекает плоскости ϒ1 и ϒ2 по прямым М1M2 и Н1Н2, которые не пересекаются, а значит – параллельны (в ином случае, заданные плоскости имели бы общую точку, что невозможно в силу их параллельности по условию задачи). Таким образом, мы наблюдаем четырехугольник М1М2Н1Н2, у которого противоположные стороны являются попарно параллельными, т.е. М1М2Н1Н2 – параллелограмм (в рассматриваемом случае – прямоугольник). Следовательно, противоположные стороны у этого параллелограмма равны, а значит |М1Н1| = |М2Н2|. Что и требовалось доказать.

    Заметим также, что расстояние между параллельными плоскостями – наименьшее из расстояний между произвольными точками этих плоскостей.

    Нахождение расстояния между параллельными плоскостями

    По программе 10-11 классов расстояние между параллельными плоскостями определяется построением перпендикуляра из любой точки одной плоскости, опущенного к другой плоскости; после чего находится длина этого перпендикуляра (при помощи теоремы Пифагора, признаков равенства, или подобия треугольников, или определения синуса, косинуса, тангенса угла).

    В случае, когда уже задана или есть возможность задать прямоугольную систему координат, то мы имеем возможность определить расстояние между параллельными плоскостями при помощи метода координат.

    Пусть задано трехмерное пространство, а в нем - прямоугольная система координат и две параллельные плоскости ϒ1 и ϒ2. Найдем расстояние между этими плоскостями, опираясь, в том числе, на определение расстояния между плоскостями, данное выше.

    В исходных данных - плоскости ϒ1 и ϒ2, и мы можем определить координаты (x1, y1, z1) некой точки M1, принадлежащей одной из заданных плоскостей: пусть это будет плоскость ϒ1. Также получим нормальное уравнение плоскости ϒ2: cos α·x+cos β·y+cos λ·z-p=0. В таком случае, искомое расстояние |М1Н1| будет равно расстоянию от точки М1(x1, y1, z1) до плоскости ϒ2 (ей соответствует нормальное уравнение cos α·x+cos β·y+cosγ·z-p=0). Тогда нужное расстояние вычислим по формуле: M1H1=cos α·x1+cos β·y1+cosγ·z1-p. Вывод данной формулы можно изучить в теме вычисления расстояния от точки до плоскости.

    Резюмируем. Для того,чтобы определить расстояние между двумя параллельными плоскостями, необходимо:

    Определение 2

    - найти координаты (x1, y1, z1) некой точки М1, принадлежащей одной из исходных плоскостей;

    - определить нормальное уравнение другой плоскости в виде cosα·x+cos β·y+cosγ·z-p=0;

    - произвести расчет требуемого расстояние, используя формулу: M1H1=cos α·x1+cos β·y1+cosγ·z1-p.

    Если в прямоугольной системе координат плоскость ϒ1 задается общим уравнением плоскости A·x+B·y+C·z+D1=0, а плоскость ϒ2 – общим уравнением A·x+B·y+C·z+D2=0, тогда расстояние между параллельными плоскостями необходимо вычислять по формуле:

    M1H1=D2-D1A2+B2+C2

    Покажем, как данная формула получена.

    Пусть точка М1(x1, y1, z1) принадлежит плоскости ϒ1. В таком случае координаты этой точки будут отвечать уравнению плоскости A·x+B·y+C·z+D1=0, или верным будет равенство: A·x1+B·y1+C·z1+D1=0. Отсюда получим: A·x1+B·y1+C·z1+D1=0. Полученное равенство нам еще пригодится.

    Плоскость ϒ2 будет описываться нормальным уравнением плоскости A·x+B·y+C·z+D2A2+B2+C2=0 или -A·x+B·y+C·z+D2A2+B2+C2=0 (в зависимости от знака числа D2). Однако при любом значение D2 расстояние |М1Н1| возможно рассчитать, используя формулу:

    M1H1=A·x1+B·y1+C·z1+D2A2+B2+C2=A·x1+B·y1+C·z1+D2A2+B2+C2

    Теперь задействуем полученное ранее равенство A·x1+B·y1+C·z1=-D1 и преобразуем формулу:

    M1H1=-D1+D2A2+B2+C2=D2-D1A2+B2+C2

    Пример 1

    Даны две параллельные плоскости ϒ1 и ϒ2, описываемые уравнениями x16+y-14+z143=1 и 3x-2y+23z-20=0 соответственно. Необходимо определить расстояние между заданными плоскостями.

    Решение

    Решим задачу двумя способами.

    1. Уравнение плоскости в отрезках, которое задано в условии задачи, дает возможность определить координаты точки М1, принадлежащей плоскости, описываемой этим уравнением. Как точку М1 используем точку пересечения плоскости ϒ1 и оси Ox. Таким образом, имеем: M116, 0, 0.

    Преобразуем общее уравнение плоскости ϒ2 в нормальный вид:

    3x-2y+23z-20=03x-2y+23z-2032+(-2)2+232=035x-25y+235z-4=0

    Вычислим расстояние |М1Н1| от точки M116, 0, 0 до плоскости 35x-25y+235z-4=0:

    M1H1=35·16-25·0+235·0-4=110-4=3910

    Так мы получили искомое расстояние между исходными параллельными плоскостями.

    1. Преобразуем уравнение плоскости в отрезках в общее уравнение плоскости:

    x16+y-14+z143=16x-4y+43z-1=0

    Приравняем коэффициенты при переменных x, y, z в общих уравнениях плоскостей; с этой целью умножим обе части крайнего равенства на 2:

    3x-2y+23z-20=06x-4y+43z-40=0

    Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между параллельными плоскостями:

    M1H1=D2-D1A2+B2+C2=-40-(-1)62+(-4)2+(43)2=39100=3910.

    Ответ: 3910.

    Пример 2

    Даны две параллельные плоскости, описываемые уравнениями: 6x+4y-12z+3=0 и 3x+2y-6z-2=0. Необходимо найти расстояние между этими плоскостями.

    Решение

    Удобнее будет использовать второй способ решения подобных задач. Умножим обе части второго уравнения на 2, и коэффициенты в уравнениях плоскостей станут равны: 6x+4y-12z+3=0 и 6x+4y-12z-4=0. Теперь можно использовать формулу:

    M1H1=-4-362+42+(-12)2=7196=12

    Однако попробуем найти ответ и первым способом: допустим, точка  M1(x1, y1, z1) принадлежит плоскости 6x+4y-12z+3=0. Соответственно, координаты этой точки отвечают уравнению плоскости, и верным будет равенство:

    6x1+4y1-12z1+3=0

    Пусть y1= 0, z1 = 0, тогда x1: 6x1+4·0-12·0+3=0x1=-12

    Таким образом, точка получает точные координаты: M1-12, 0, 0.

    Преобразуем общее уравнение плоскости 3x+2y-6z-2=0 в нормальный вид:

    3x+2y-6z-2=03x+2y-6z-2=032+22+-6=037x+27y-67z-27=0

    В таком случае, требуемое расстояние между плоскостями равно: 37·-12+27·0-67·0-67·0-27=-12=12

    Ответ: 12.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (17 голосов)