Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве: определение и примеры нахождения, метод координат расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве: определение и примеры нахождения

    Данная статья рассказывает о теме «расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач.

    Расстояние от точки до прямой – определение

    Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней.

    Пусть имеется прямая a и точка М1, не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую b, расположенную перпендикулярно относительно прямой a. Точка пересечения прямых возьмем за Н1. Получим, что М1Н1 является перпендикуляром, который опустили из точки М1 к прямой a.

    Определение 1

    Расстоянием от точки М1 к прямой a называется расстояние между точками М1 и Н1.

    Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра.

    Определение 2

    Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

    Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.

    Если взять точку Q, лежащую на прямой a, не совпадающую с точкой М1, тогда получим, что отрезок М1Q называется наклонной, опущенной из М1 к прямой a. Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.

    Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М1Q1Н1, где М1Q1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M1H1<M1Q. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения

    Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии.

    Когда при нахождении расстояния от точки до прямойможно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки. 

    Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из М1 к прямой a. Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния.

    Если на плоскости имеется точка с координатами M1(x1, y1), расположенная в прямоугольной системе координат, прямая a, а необходимо найти расстояние M1H1, можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их.

    Первый способ

    Если имеются координаты точки H1, равные x2, y2, тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы M1H1=(x2-x1)2+(y2-y1)2.

    Теперь перейдем к нахождению координат точки Н1.

    Известно, что прямая линия в Оху соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой a через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку М1 перпендикулярно заданной прямой a. Прямую обозначим буковой b. Н1 является точкой пересечения прямых a и b, значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых.

    Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M1(x1, y1)  до прямой a проводится согласно пунктам:

    Определение 3
    • нахождение общего уравнения прямой a, имеющее вид A1x+B1y+C1=0 ,или уравнение с угловым коэффициентом, имеющее вид y=k1x+b1;
    • получение общего уравнения прямой b, имеющее вид A2x+B2y+C2=0 или уравнение с угловым коэффициентом y=k2x+b2, если прямая b пересекает точку М1 и является перпендикулярной к заданной прямой a;
    • определение координат x2, y2 точки Н1, являющейся точкой пересечения a и b, для этого производится решение системы линейных уравнений A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0 или y=k1x+b1y=k2x+b2;
    • вычисление искомого расстояния от точки до прямой, используя формулу M1H1=(x2-x1)2+(y2-y1)2.

    Второй способ

    Теорема способна помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от заданной точки дот заданной прямой на плоскости.

    Теорема

    Прямоугольная система координат  имеет Оху имеет точку M1(x1, y1), из которой проведена прямая а к плоскости, задаваемая нормальным уравнением плоскости, имеющее вид cos α·x+cos β·y-p=0, равно по модулю значению, получаемому в левой части нормального уравнения прямой, вычисляемому при x=x1, y=y1, значит, что M1H1=cos α·x1+cos β·y1-p.

    Доказательство

    Прямой а соответствует нормальное уравнение плоскости, имеющее вид cos α·x+cos β·y-p=0, тогда n=(cos α, cos β) считается нормальным вектором прямой a при расстоянии от начала координат до прямой a с p единицами. Необходимо изобразить все данные на рисунке, добавить точку с координатами M1(x1, y1), где радиус-вектор точки М1 - OM1=(x1, y1). Необходимо провести прямую от точки до прямой, которое обозначим M1H1. Необходимо показать проекции  М2 и Н2 точек М1 и Н2 на прямую, проходящую через точку O с направляющим вектором вида  n=(cos α, cos β),  а числовую проекцию вектора обозначим как OM1=(x1, y1) к направлению n=(cos α, cos β) как npnOM1.

    Вариации зависят от расположения самой точки М1. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Результаты фиксируем при помощи формулы M1H1=npnOM1-p. После чего приводим равенство к такому виду M1H1=cos α·x1+cos β·y1-p для того, чтобы получить npnOM1=cos α·x1+cos β·y1.

    Скалярное произведение векторов в результате дает преобразованную формулу вида n, OM1=n·npnOM1=1·npnOM1=npnOM1, которая является  произведением в координатной форме вида n, OM1=cos α·x1+cos β·y1. Значит, получаем, что npnOM1=cos α·x1+cos β·y1. Отсюда следует, что M1H1=npnOM1-p=cos α·x1+cos β·y1-p. Теорема доказана.

    Получаем, что для нахождения расстояния от точки M1(x1, y1) к прямой a на плоскости необходимо выполнить несколько действий:

    Определение 4
    • получение нормального уравнения прямой a cos α·x+cos β·y-p=0, при условии, что его нет в задании;
    • вычисление выраженияcos α·x1+cos β·y1-p, где полученное значение принимает M1H1.

    Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости

    Применим данные методы на решении задач с нахождением расстояния от точки до плоскости.

    Пример 1

    Найти расстояние от точки с координатами M1(-1, 2) к прямой 4x-3y+35=0.

    Решение

    Применим первый способ для решения.

    Для этого необходимо найти общее уравнение прямой b, которая проходит через заданную точку M1(-1, 2), перпендикулярно прямой 4x-3y+35=0. Из условия видно, что прямая b является перпендикулярной прямой a, тогда ее направляющий вектор имеет координаты, равные(4, -3). Таким образом имеем возможность записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как имеются координаты точки М1, принадлежит прямой b. Определим координаты направляющего вектора прямой b. Получим, что x-(-1)4=y-2-3x+14=y-2-3. Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать к общему. Тогда получаем, что

    x+14=y-2-3-3·(x+1)=4·(y-2)3x+4y-5=0

    Произведем нахождение координат точек пересечения прямых, которое примем за обозначение Н1.  Преобразования выглядят таким образом:

    4x-3y+35=03x+4y-5=0x=34y-3543x+4y-5=0x=34y-3543·34y-354+4y-5=0x=34y-354y=5x=34·5-354y=5x=-5y=5

    Из выше написанного имеем, что координаты точки Н1  равны (-5;5).

    Необходимо вычислить расстояние от точки М1 к прямой a. Имеем, что координаты точек M1(-1, 2) и H1(-5, 5), тогда подставляем в формулу для нахождения расстояния и получаем, что

    M1H1=(-5-(-1)2+(5-2)2=25=5

    Второй способ решения.

    Для того, чтобы решить другим способом, необходимо получить нормальное уравнение прямой. Вычисляем значение нормирующего множителя и умножаем обе части уравнения 4x-3y+35=0. Отсюда получим, что нормирующий множитель равен -142+(-3)2=-15, а нормальное уравнение будет вида -15·4x-3y+35=-15·0-45x+35y-7=0.

    По алгоритму вычисления необходимо получить нормальное уравнение прямой и вычислить его со значениями x=-1, y=2. Тогда получаем, что

    -45·-1+35·2-7=-5

    Отсюда получаем, что расстояние от точки M1(-1, 2) к заданной прямой 4x-3y+35=0 имеет значение -5=5.

    Ответ: 5.

    Видно, что в данном методе важно использование нормального уравнения прямой, так как такой способ является наиболее коротким. Но первый метод удобен тем, что последователен и логичен, хотя имеет больше пунктов вычисления.

    Пример 2

    На плоскости имеется прямоугольная система координат Оху с точкой M1(8, 0) и прямой y=12x+1. Найти расстояние от заданной точки до прямой.

    Решение

    Решение первым способом подразумевает приведение заданного уравнения с угловым коэффициентом к уравнению общего вида. Для упрощения можно сделать иначе.

    Если произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых имеют значение -1, значит угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной y=12x+1 имеет значение 2. Теперь получим уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M1(8, 0). Имеем, что y-0=-2·(x-8)y=-2x+16.

    Переходим  к нахождению координат точки Н1, то есть точкам пересечения y=-2x+16 и y=12x+1. Составляем систему уравнений и получаем:

    y=12x+1y=-2x+16y=12x+112x+1=-2x+16y=12x+1x=6y=12·6+1x=6=y=4x=6H1(6, 4)

    Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами M1(8, 0) к прямой y=12x+1 равно расстоянию от точки начала и точки конца с координатами M1(8, 0) и H1(6, 4). Вычислим и получим, что M1H1=6-82+(4-0)220=25.

    Решение вторым способом заключается в переходе от уравнения с коэффициентом к нормальному его виду. То есть получим y=12x+112x-y+1=0, тогда значение нормирующего множителя будет -1122+(-1)2=-25. Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой принимает вид -25·12x-y+1=-25·0-15x+25y-25=0. Произведем вычисление от точки M18, 0 к прямой вида -15x+25y-25=0. Получаем:

    M1H1=-15·8+25·0-25=-105=25

    Ответ: 25.

    Пример 3

    Необходимо вычислить расстояние от точки  с координатами M1(-2, 4) к прямым 2x-3=0 и y+1=0.

    Решение

    Получаем уравнение нормального вида прямой 2x-3=0:

    2x-3=012·2x-3=12·0x-32=0

    После чего переходим к вычислению расстояния от точки M1-2, 4 к прямой x-32=0. Получаем:

    M1H1=-2-32=312

    Уравнение прямой y+1=0 имеет нормирующий множитель со значением равным -1. Это означает, что уравнение примет вид -y-1=0.  Переходим к вычислению расстояния от точки M1(-2, 4) к прямой -y-1=0. Получим, что оно равняется -4-1=5.

    Ответ: 312 и 5.

    Подробно рассмотрим нахождение расстояния от заданной точки плоскости к координатным осям Ох и Оу.

    В прямоугольной системе координат у оси Оу имеется уравнение прямой, которое является неполным  имеет вида х=0, а Ох - y=0.  Уравнения являются нормальными для осей координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами M1x1, y1 до прямых. Это производится, исходя из формул M1H1=x1 и M1H1=y1. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Пример 4

    Найти расстояние от точки M1(6, -7) до координатных прямых, расположенных в плоскости Оху.

    Решение

    Так как уравнение у=0 относится к прямой  Ох, можно найти расстояние от M1 с заданными координатами, до этой прямой,  используя формулу. Получаем, что 6=6.

    Так как уравнение х=0 относится к прямой Оу, то можно найти расстояние от М1  к этой прямой по формуле. Тогда получим, что -7=7.

    Ответ: расстояние от М1 к Ох имеет значение 6, а от М1 к Оу имеет значение 7.

    Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения

    Когда  в трехмерном пространстве имеем точку с координатами M1(x1, y1, z1), необходимо найти расстояние от точки A до прямой a.

    Рассмотрим два способа, которые позволяют производить вычисление расстояние от точки до прямой a, расположенной в пространстве. Первый случай рассматривает расстояние от точки М1 к прямой, где точка на прямой называется Н1 и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М1 на прямую a. Второй случай говорит о том, что точки этой плоскости необходимо искать в качестве высоты параллелограмма.

    Первый способ

    Из определения имеем, что расстояние от точки М1, расположенной на прямой а, является длиной перпендикуляра М1Н1, тогда получим, что при найденных координатах точки Н1 , тогда найдем расстояние между M1(x1, y1, z1) и H1(x1, y1, z1), исходя из формулы M1H1=x2-x12+y2-y12+z2-z12.

    Получаем, что все решение идет к тому, чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из М1 на прямую a. Это производится следующим образом: Н1 является точкой, где пересекаются прямая a с плоскостью, которая проходит через заданную точку.

    Значит, алгоритм определения расстояния от точки M1(x1, y1, z1) к прямой a пространства подразумевает несколько пунктов:

    Определение 5
    • составление уравнение плоскости χ в качестве уравнения плоскости, проходящего через заданную точку, находящуюся перпендикулярно прямой;
    • определение координат (x2, y2, z2), принадлежавших точке Н1, которая является точкой пересечения прямой a и плоскости χ;
    • вычисление расстояния от точки до прямой при помощи формулы M1H1=x2-x12+y2-y12+z2-z12.

    Второй способ

    Из условия имеем прямую a, тогда  можем определить направляющий вектор a=ax, ay, az с координатами x3, y3, z3 и определенной точки М3,принадлежащей прямой a. При наличии координат точек M1(x1, y1) и M3x3, y3, z3 можно произвести вычисление M3M1:

    M3M1=(x1-x3, y1-y3, z1-z3)

    Следует отложить векторы a=ax, ay, az и M3M1=x1-x3, y1-y3, z1-z3 из точки М3, соединим и получим фигуру параллелограмма. М1Н1 является высотой параллелограмма.

    Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Имеем, что высота М1Н1 является искомым расстоянием, тогда необходимо найти его по формуле. То есть ищем M1H1.

    Обозначим площадь параллелограмма за букву S, находится по формуле, используя вектор a=(ax, ay, az) и M3M1=x1-x3. y1-y3, z1-z3. Формула площади имеет вид S=a×M3M1.  Также площадь фигуры равняется произведению длин его сторон на высоту, получим, что S=a·M1H1 с a=ax2+ay2+az2, являющимся длиной вектора a=(ax, ay, az), являющейся равной стороне параллелограмма. Значит, M1H1 является расстоянием от точки до прямой. Ее нахождение производится по формуле M1H1=a×M3M1a.

    Для нахождения расстояния от точки с координатами M1(x1, y1, z1) до прямой a в пространстве, необходимо выполнить несколько пунктов алгоритма:

    Определение 6
    • определение направляющего вектора прямой a - a=(ax, ay, az);
    • вычисление длины направляющего вектора a=ax2+ay2+az2;
    • получение координат x3, y3, z3, принадлежавших точке М3, находящейся на прямой а;
    • вычисление координат вектора M3M1;
    • нахождение векторного произведения векторов a(ax, ay, az) и M3M1=x1-x3, y1-y3, z1-z3 в качестве a×M3M1=ijkaxayazx1-x3y1-y3z1-z3 для получения длины  по формуле a×M3M1;
    • вычисление расстояния от точки до прямой M1H1=a×M3M1a.

    Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

    Пример 5

    Найти расстояние от точки с координатами M12, -4, -1 к прямой x+12=y-1=z+55.

    Решение

    Первый способ начинается с записи уравнения плоскости χ, проходящей через М1 и перпендикулярно заданной точке. Получаем выражение вида:

    2·(x-2)-1·(y-(-4))+5·(z-(-1))=02x-y+5z-3=0

    Нужно найти координаты точки H1, являющейся точкой пересечения с плоскостью χ к заданной по условию прямой. Следует переходить от канонического вида к пересекающемуся. Тогла получаем систему уравнений вида:

    x+12=y-1=z+55-1·(x+1)=2·y5·(x+1)=2·(z+5)5·y=-1·(z+5)x+2y+1=05x-2z-5=05y+z+5=0x+2y+1=05x-2z-5=0

    Необходимо вычислить систему x+2y+1=05x-2z-5=02x-y+5z-3=0x+2y=-15x-2z=52x-y+5z=3 по методу Крамера, тогда получаем, что: 

    =12050-22-15=-60x=-12050-23-15=-60x=x=-60-60=1y=1-10552235=60y=y=60-60=-1z=12-15052-13=0z=z=0-60=0

    Отсюда имеем, что H1(1, -1, 0).

    Необходимо рассчитать расстояние  между точками с координатами M1(2, -4, -1) и H1(1, -1, 0) по формуле:

    M1H1=1-22+-1--42+0--12=11

    Второй способ необходимо начать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого необходимо обратит внимание на знаменатели дроби. Тогда a=2, -1, 5 является направляющим вектором  прямой x+12=y-1=z+55. Необходимо вычислить длину по формуле a=22+(-1)2+52=30.

    Понятно, что прямая x+12=y-1=z+55 пересекает точку M3(-1, 0, -5), отсюда имеем, что вектор с началом координат M3(-1, 0, -5) и его концом в точке M12, -4, -1 является M3M1=3, -4, 4. Находим векторное произведение a=(2, -1, 5) и M3M1=(3, -4, 4).

    Мы получаем выражение вида a×M3M1=ijk2-153-44=-4·i+15·j-8·k+20·i-8·j=16·i+7·j-5·k

    получаем, что длина векторного произведения равняется a×M3M1=162+72+-52=330.

    Имеются все данные для использования формулы вычисления расстояния от точки для прямлой, поэтому применим ее и получим:

    M1H1=a×M3M1a=33030=11

    Ответ: 11.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (6 голосов)