Целые числа: общее представление

Целые числа: общее представление

    В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как  целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.

    Целые числа. Определение, примеры

    Вначале вспомним про натуральные числа . Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.

    Определение 1. Целые числа

    Целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль. 

    Множество целых чисел обозначается буквой .

    Множество натуральных чисел  - подмножество целых чисел . Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

    Из определения следует, что целым является любое из чисел 1, 2, 3.., число 0, а также числа -1, -2, -3,..

    В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39, -589, 10000000, -1596, 0 являются целыми числами.

    Целые числа и координатная прямая

    Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.

    Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0, а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число. 

    В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.

    Положительные и отрицательные целые числа

    Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.

    Определение 2. Положительные целые числа

    Положительные целые числа - это целые числа со знаком "плюс".

    Например, число 7 - целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0. Другие примеры положительных целых чисел: 12, 502, 42, 33, 100500.

    Определение 3. Отрицательные целые числа

    Отрицательные целые числа - это целые числа со знаком "минус".

    Примеры целых отрицательных чисел: -528, -2568, -1.

    Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным. 

    Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число. 

    Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.

    Определение 4. Положительные целые числа

    Положительные целые числа - это целые числа, которые больше нуля.

    Определение 5. Отрицательные целые числа

    Отрицательные целые числа - это целые числа, которые меньше нуля.

    Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.

    Ранее мы уже говорили, что натуральные числа - это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.

    Важно!

    Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить - нет, не являются.

    Неположительные и неотрицательные целые числа

    Дадим определения.

    Определение 6. Неотрицательные целые числа

    Неотрицательные целые числа - это положительные целые числа и число нуль.

    Определение 7. Неположительные целые числа

    Неположительные целые числа - это отрицательные целые числа и число нуль.

    Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

    Примеры неотрицательных  целых чисел: 52, 128, 0.

    Примеры неположительных целых чисел: -52, -128, 0.

    Неотрицательное число - это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число - это число, меньшее или равное нулю.

    Термины "неположительное число" и "неотрицательное число" используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a - целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a - целое неотрицательное число.

    Использование целых чисел при описании изменения величин

    Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.

    Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.

    Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.

    Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).

    Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом -30, а увеличение на 2 градуса - положительным целым числом 2.

    Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем -5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак "минус" говорит о том, что мы должны отдать монеты.

    Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 - другому, то общий долг (5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

    -2+(-3)=-5

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (8 голосов)