Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач, описание нормального уравнения прямой

Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

    В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.

    Нормальное уравнение прямой – описание и пример

    Рассмотрим выведение нормального уравнения.

    Фиксируем на плоскости систему координат Оху, где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n. Его начало обозначено точкой O. координатами являются cos α и cos β, углы которых расположены между вектором n и положительными осями Оx и Oy. Это запишется так: n=(cos α, cos β). Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p, где p0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n. Если р=0, тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что OA=p. Получаем уравнение, при помощи которого  задается прямая.

    Имеем, что точка с координатами M (x, y) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора  OM по направлению вектора n равняется p, значит при выполнении условия npnOM=p.

    OM является радиус-вектором точки с координатами M (x, y), значит OM=(x, y).

    Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n, OM=n·npnOM=1·npnOM=npnOM=p

    Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n, OM=cos α·x+cos β·y

    Отсюда cos α·x+cos β·y=p или cos α·x+cos β·y-p=0. Было выведено нормальное уравнение прямой.

    Определение 1

    Уравнение вида cos α·x+cos β·y-p=0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.

    Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой Ax+Bx+C=0, где A и B имеют значения, при которых длина вектора n=(A, B) равна 1, а C является неотрицательным числом.

    Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α·x+cos β·y-p=0 задает в системе координат Оху на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n=(cos α, cos β), которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n.

    Если дано уравнение прямой вида -12·x+32·y-3=0, то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор  с координатами -12, 32. Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n=-12, 32.

    Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

    Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.

    Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.

    Для приведения общего уравнения прямой Ax+Bx+C=0 к нормальному  необходимо обе часть умножить на нормирующий множитель, который  имеет значение ±1A2+B2. Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C. При С=0 знак выбирается произвольно.

    Пример 1

    Привести уравнение прямой 3x-4y-16=0 к нормальному виду.

    Решение

    Из общего уравнения видно, что А=3, В=-4, С=-16. Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:

    1A2+B2=132+(-4)2=15

    Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 15·(3x-4y-16)=035·x-45·y-165=0.

    Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.

    Ответ: 35·x-45·y-165=0.

    Пример 2

    Получить нормальное уравнение прямой y=13x.

    Решение

    По условию имеем, что общее уравнение прямой 13x-y=0. Очевидно, что С=0, значит знак нормирующего множителя не имеет значения. Выбираем со знаком «+». Тогда выражение примет вид:

    1A2+B2=1132+(-1)2=310

    Обе части умножаем на нормированный множитель, получаем, что нормальное уравнение прямой имеет вид 110x-310y=0.

    Ответ: 110x-310y=0.

    Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости

    В данном пункте рассмотрим важное приложение нормального уравнения прямой – нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

    Расстояние от точки M0(x0, y0) до прямой  с нормальным уравнением cos α·x+cos β·y-p=0 задается буквой p. Вычисление расстояния р производится по формуле p=cos α·x0+cos β·y0-p. Для того, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно сделать подстановку координат этой точки в левую часть уравнения и работать с абсолютной величиной полученного значения. С подробным выводом формулы можно ознакомиться  в статье нахождения расстояния от точки до прямой. Имеется альтернативный способ его вычисления.

    Пример 3

    Найти расстояния от точки с координатами M0(-2, 1) к прямой с нормальным уравнением 23x-52y-1=0.

    Решение

    По условию имеем, что x0=-2, y0=1, cos α=23, cos β=-53, p=1.

    Применим формулу для вычисления расстояния от точки до прямой. Получим, что:

    p=cos α·x0+cos β·y0-p=23·-2-53·1-1=-7+53=7+53

    Ответ: 7+53.

    Пример 4

    Вычислить расстояние от точки с координатами M0(-2, -3) до прямой x-1-2=y+33.

    Решение

    Начнем решение с приведения уравнения заданной прямой к нормальному виду. Ждя начала необходимо привести к общему виду. Получим:

    x-1-2=y+333·(x-1)=-2·(y+3)3x+2y+3=0

    Проведем вычисление нормирующего множителя по формуле: -1A2+B2=-132+22=-113.

    Следующим действием будет умножение обоих частей уравнения 3x+2y+3=0 на нормирующий множитель.

    Получаем: -313·x-213·y-313=0

    Было произведено получение нормального уравнения прямой. Чтобы найти расстояние, необходимо использовать абсолютную величину и подставить в формулу для нахождения искомого значения.

    Тогда p=-313·(-2)-213·(-3)-313=913=913.

    Ответ: 913.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter