Метод Симпсона (парабол)

Метод Симпсона (парабол)

    При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции.  Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования.  Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью.  Метод Симпсона является таковым.

    Для этого необходимо  дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона.  В заключении произведем сравнение  трех методов: Симпсона, прямоугольников,  трапеций.

    Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

    Задана функция вида y=f(x), имеющая непрерывность на интервале  [a; b], необходимо произвести вычисление определенного интеграла abf(x)dx

    Необходимо разбить отрезок [a; b] на n отрезков вида x2i-2;x2i, i=1, 2,..., n  с длиной 2h=b-an и точками a=x0<x2<x4<...<x2π-2<x2π=b. Тогда точки x2i-1, i=1, 2,..., n считаются  серединами отрезков x2i-2; x2i, i=1, 2,..., n. Данный случай показывает, что определение узлов производится через xi=a+i·h, i=0, 1,..., 2n.

    Суть метода парабол

    Каждый интервал x2i-2; x2i, i=1, 2,..., n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y=aix2+bix+ci, проходящей через точки  с координатами x2i-2; f(x2i-2), x2i-1; x2i-1, x2i; f(x2i).  Поэтому метод и имеет такое название.

    Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл x2i-2x2iaix2+bix+cidx взять в качестве приближенного значения x2i-2x2if(x)dx. Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница.  Это и есть суть метода парабол. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

    При помощи красной линии изображается график функции y=f(x), синей – приближение графика y=f(x) при помощи квадратичных парабол.

    Вывод формулы метода Симпсона (парабол)

    Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем abf(x)dx=i=1nx2i-2x2if(x)dxi=1nx2i-2x2i(aix2+bix+ci)dx

    Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

    x2i-2x2i(aix2+bix+ci)dx

    Пусть x2i-2=0. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Изобразим, что через точки с координатами x2i-2; f(x2i-2), x2i-1; x2i-1, x2i; f(x2i) может проходить одна квадратичная парабола вида y=aix2+bix+ci. Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

    Имеем, что x2i-2; f(x2i-2), x2i-1; x2i-1, x2i; f(x2i) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

    ai(x2i-2)2+bi·x2i-2+ci=f(x2i-2)ai(x2i-1)2+bi·x2i-1+ci=f(x2i-1)ai(x2i)2+bi·x2i+ci=f(x2i)

    Полученная система разрешается относительно ai, bi, ci, где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

    (x2i-2)2x2i-21x2i-1)2x2i-11(x2i)2x2i1, причем он считается отличным от нуля  и не совпадает с точками x2i-2, x2i-1, x2i. Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты ai; bi; ci могут определяться только единственным образом, тогда через точки x2i-2; f(x2i-2), x2i-1; x2i-1, x2i; f(x2i) может проходить только одна парабола.

    Можно переходить к нахождению интеграла x2i-2x2i(aix2+bix+ci)dx.

    Видно, что

    f(x2i-2)=f(0)=ai·02+bi·0+ci=cif(x2i-1)=f(h)=ai·h2+bi·h+cif(x2i)=f(0)=4ai·h2+2bi·h+ci

    Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

    x2i-2x2i(aix2+bix+ci)dx=02h(aix2+bix+ci)dx==aix33+bix22+cix02h=8aih33+2bih2+2cih==h38aih2+6bih+6ci=h3fx2i-2+4f22i-1+fx2i

    Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

    abf(x)dxi=1nx2i-2x2iaix2+bix+cidx==i=1nh3(f(x2i-2)+4f(x2i-1)+f(x2i))==h3f(x0)+4f(x1)+f(x2)+f(x2)+4f(x3)+f(x4)+...++f(x2n-2)+4f(x2n-1)+f(x2n)==h3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n)

    Определение 1

    Формула метода Симпсона имеет вид abf(x)dxh3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n).

    Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δnmax[a;b]f(4)(x)·(b-a)52880n4.

    Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

    Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

    • при приближенном вычислении определенного интеграла;
    • при нахождении приближенного значения с точностью δn.

    На точность вычисления влияет значение n, чем выше n, тем точнее промежуточные значения.

    Пример 1

    Вычислить определенный интеграл 05xdxx4+4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

    Решение

    По условию известно, что a = 0; b = 5; n = 5, f(x)=xx4+4.

    Тогда запишем формулу Симпсона в виде

    abf(x)dxh3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n)

    Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать  шаг по формуле h=b-a2n, определить точки xi=a+i·h, i=0, 1,..., 2n и найти значения подынтегральной функции f(xi), i=0, 1,..., 2n.

    Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

    h=b-a2n=5-02·5=0.5

    Найдем значение функции в точках

    i=0: xi=x0=a+i·h=0+0·0.5=0f(x0)=f(0)=004+4=0i=1: xi=x1=a+i·h=0+1·0.5=0.5f(x1)=f(0.5)=0.50.54+40.12308...i=10: xi=x10=a+i·h=0+10·0.5=5f(x10)=f(5)=554+40.00795

    Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

    i 0 1 2 3 4 5
    xi 0 0.5 1 1.5 2 2.5
    fxi 0 0.12308 0.2 0.16552 0.1 0.05806

     

    i 6 7 8 9 10
    xi 3 3.5 4 4.5 5
    fxi 0.03529 0.02272 0.01538 0.01087 0.00795

    Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

    05xdxx4+4h3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n)==0.530+4·0.12308+0.16552+0.05806++0.02272+0.01087+2·0.2+0.1++0.03529+0.01538+0.007950.37171

    Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

    05xdxx4+4=1205d(x2)x22+4=14arctgx2205=14arctg2520.37274

    Ответ: Результаты совпадают до сотых.

    Пример 2

    Вычислить неопределенный интеграл0πsin3x2+12dx при помощи метода Симпсона с точностью до 0,001.

    Решение

    По условию имеем, что а=0, b=π, f(x)=sin3x2+12, δn0.001. Необходимо определить значение n. Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δnmax[a;b]f(4)(x)·(b-a)52880n40.001

    Когда найдем значение n, то неравенство max[a;b]f(4)(x)·(b-a)52880n40.001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0.001. Последнее неравенство примет вид

    n4max[a;b]f(4)(x)·(b-a)52.88

    Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

    f'(x)=sin3x2+12'=32cos3x2f''(x)=32cos3x2'=-94sin3x2f'''(x)=-94sin3x2'=-278cos3x2f(4)(x)=-278cos3x2'=8116sin3x2

    Область определения f(4)(x)=8116sin3x2 принадлежит интервалу -8116;8116, а сам отрезок интегрирования [0;π) имеет точку экстремума, из этого следует, что max[0;π]f(4)(x)=8116.

    Производим подстановку:

    n4max[a;b]f(4)(x)·(b-a)52.88n48116·π-052.88n4>537.9252n>4.8159

    Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n=5, 6, 7 для начала необходимо взять значение n=5.

    Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

    h=b-a2n=π-02·5=π10

    Найдем узлы xi=a+i·h, i=0, 1,..., 2n, тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

    i=0: xi=x0=a+i·h=0+0·π10=0f(x0)=f(0)=sin3·02+12=0.5i=1: xi=x1=a+i·h=0+1·π10=π10f(x1)=f(π10)=sin3·π102+120.953990...i=10: xi=x10=a+i·h=0+10·π10=πf(x10)=f(π)=sin3·π2+12-0.5

    Для объединения результатов запишем данные в таблицу.

    i 0 1 2 3 4
    xi 0 π10 π5 3π10 2π5
    f(xi) 0.5 0.953990 1.309017 1.487688 1.451056

     

    i 5 6 7 8 9 10
    xi π2 3π5 7π10 4π5 9π10 π
    f(xi) 1.207107 0.809017 0.343566 -0.087785 -0.391007 -0.5

    Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

    0πsin3x2+12h3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n)==π30·0,5+4·0.953990+1.487688+1.207107++0.343566-0.391007+2·1.309017+1.451056++0.809017-0.87785-0.5==2.237650

    Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла 0πsin3x2+12dx2.237 с точностью до 0,001.

    При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

    0πsin3x2+12dx=-23cos3x2+12x0π==-32cos3π2+π2--23cos0+12·0=π2+232.237463

    Ответ: 0πsin3x2+12dx2.237

    Замечание

    В большинстве случаях нахождение max[a;b]f(4)(x) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n. Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (11 голосов)