Вычисление площади фигуры в полярных координатах

Вычисление площади фигуры в полярных координатах

    В этом разделе мы продолжим разбирать тему вычисления площадей плоских фигур. Рекомендуем тем, кто изучает темы не по порядку, сначала обратиться к статье «Геометрический смысл определенного интеграла» и разобрать способы вычисления площади криволинейной трапеции. Нам понадобится вычислять площади фигур, которые ограничены ограничены линиями y=f(x), x=g(y) в прямоугольной системе координат. А также раздел «Свойства площади фигур», где была разобрана квадрируемость плоских фигур.

    Краткий обзор статьи

    • Начнем с определения понятия криволинейного сектора, получим формулу для вычисления его площади. Для этого мы используем понятие определенного интеграла Дарбу.
    • Подробно разберем решения задач с использованием таких кривых как кардиоида, архимедова спираль и лемниската Бернулли.
    • В отдельную подтему мы выделили нахождение площади фигуры, которая представлена как разность двух криволинейных секторов.

    Полярная система координат и криволинейный сектор

    Определение 1

    Точка, расположенная в полярной системе координат, имеет полярный угол φ0 и полярный радиус r00. Полярный угол φ0 отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке, а r0 - это расстояние от заданной точки до начала координат.

    На рисунке мы отметили начало координат (полюс) жирной черной точкой, полярная ось имеет вид луча черного цвета, а красная точка определяется углом φ0=3π4 и расстоянием до полюса r0=4.

    Мы можем рассматривать полярную систему координат одновременно с прямоугольной декартовой. Для этого необходимо совместить начала координат обеих систем, а ось абсцисс и полярной осью. 

    Задать связь полярных и декартовых координат можно соотношениями r=x2+y2φ=arctgyx, x0 и обратно x=r·cosφy=r·sinφ.

    Координаты красной точки на чертеже 23; 2. Положение этой точки задается углом φ0=arctg223=π6 и расстоянием r0=232+22=4.

    В полярной системе координат равенство φ=α задает луч, который выходит из точки начала координат и составляет угол α с полярной осью. При этом, угол α может быть задан как в радианах, так и в градусах. Полярную ось мы можем задать уравнением вида φ=0. Равенство r=C>0 задает окружность с центром в начале координат, где  - это радиус.

    Функция r=p(φ), φα; β определяет некоторую линию в полярных координатах.

    Следует учитывать тот факт, что с позиции геометрии функция r=p(φ), φα; β во всех случаях будет неотрицательной. Связано это с тем, что она задает расстояние от начала координат до точки для заданного значения угла φ=φ0α; β. Однако мы будем встречать и отрицательные значенияr=p(φ) функции, что зависит от отношения к данному вопросу конкретных исследователей и преподавателей.

    На рисунке мы изобразили несколько примеров линий в полярной системе координат.

    Дадим определение криволинейному сектору.

    Определение 2

    Криволинейный сектор представляет собой фигуру, которая ограничена лучами φ=α, φ=β и некоторой линией  r=p(φ)0, непрерывной на участке α; β.

    На рисунке мы привели несколько примеров криволинейных секторов.

    На последнем рисунке мы рассмотрели случай, когда фигура располагается между лучами φ=-π6, φ=π6, которые не являются ее границами.

    Площадь криволинейного сектора - вывод формулы

    Для вычисления площади криволинейного сектора мы можем вывести формулу. Для этого мы можем использовать формулу площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ из школьного курса геометрии: Sкругового сектора=γ·R22. Задаем внутренний угол γ в радианах.

    Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами 

    φ=φ1, φ=φ2,..., φ=φn-1, что α=φ0<φ1<φ2<...<φn-1<β и λ=maxi=1, 2,..., nφi-φi-10 при n+.

    Учитывая свойства площади фигуры, мы можем представить площадь исходного криволинейного сектора S(G) как сумму площадей секторов S(Gi) на каждом из участков разбиения:

    S(G)=i=1nS(Gi)

    Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции r=p(φ) на i-ом отрезке φi-1; φi, i=1, 2,..., n как Rmini и Rmaxi . На каждом из отрезков построим по два круговых сектора Pi и Qi с максимальным и минимальным радиусами Rmini и Rmaxi соответственно.

    Фигуры, которые являются объединением круговых секторов Qi, i=1, 2,..., n; Pi, i=1, 2,..., n , обозначим как P и Q соответственно.

    Их площади будут равны S(P)=i=1nS(Pi)=i=1n12(Rmini)2·φi-φi-1 и S(Q)=i=1nS(Qi)=i=1n12(Rmaxi)2·φi-φi-1, причем S(P)S(G)S(Q).

    Так как функция r=pφ непрерывна на отрезке α; β, то функция 12p2φ будет непрерывна на этом отрезке. Если рассматривать S(P) и S(Q) для этой функции как нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, то мы можем прийти к равенству:

    limλ0S(P)=limλ0S(Q)=S(G)S(G)=limλ0 i=1n12(Rmini)2·φi-φi-1==limλ0 i=1n12(Rmaxi)·φi-φi-1=12βαp2φdφ

    Определение 3

    Формула для определения площади криволинейного сектора имеет вид:

    S(G)=12βαp2φdφ

    Примеры вычисления площади криволинейного сектора

    Рассмотрим алгоритмы вычисления площади криволинейного сектора с полярной системе координат на конкретных примерах.

    Пример 1

    Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярных координатах, которая ограничена линией r=2sin2φи лучами φ=π6, φ=π3.

    Решение

    Для начала, изобразим описанную в условии задачи фигуру в полярной системе координат. Функция r=2sin(2φ)положительна и непрерывна на отрезке φπ6, π3.

    Полученная фигура является криволинейным сектором, что позволяет нам применить формулу для нахождения площади этого сектора.

    S(G)=12π6π3(2sin(2φ)2dφ=π6π32(sin(2φ)2dφ=π6π32·1-cos4φ2dφ=π6π3(1-cos(4φ))dφ=φ-14sin(4φ)π6π3==π3-14sin4π3-π6-14sin4π6=π6+34

    Ответ: S(G)=π6+34

    Задача упрощается в тех случаях, когда лучи φ=φ1, φ=φ2, ограничивающие фигуру, заданы. Тогда нам не нужно задумываться о пределах интегрирования при проведении вычисления площади.

    Чаще встречаются задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая r=p(φ). В этих случаях применить формулу S(G)=12αβp2(φ)dφ сразу не получится. Для начала придется решить неравенство p(φ)0  для нахождения пределов интегрирования. Так мы можем поступить в тех случаях, когда функция r=pφ неотрицательная. В противном случае нам придется ориентироваться  только на область определения и период функции.

    Пример 2

    Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривой в полярных координатах r=-3·cos3φ.

    Решение

    Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство -3·cos3φ0:

    -3·cos3φ0cos3φ0cos φ0π2+2πkφ3π2+2πk, kZ

    Построим функцию в полярных координатах на отрезке φπ2; 3π2 (при k=0). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.

    Применим формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать π2+2πk и 3π2+2πk соответственно для любого целого значения k.

    S(G)=12π23π2(-3·cos3φ)dφ=92π23π2cos6φdφ

    Для того, чтобы получить ответ, нам необходимо вычислить полученный определенный интеграл. Для этого мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Первообразную для формулы Ньютона-Лейбница мы можем с помощью рекуррентной формулы вида Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x), где Kn(x)=cosn(x)dx.

    cos6φdφ=sin φ·cos5φ6+56cos4φdφ==sin φ·cos5φ6+56sin φ·cos3φ4+34cos2φdφ==sin φ·cos5φ6+5sin φ·cos3φ24+1524sin φ·cos φ2+12cos0φdφ==π23π2cos6φdφ=sin φ·cos5φ6+5sin φ·cos3φ24+15sin φ·cos φ48+15φ48π23π2==1548·3π2-1548·π2=5π16

    Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна S(G)=92π23π2cos6φdφ=92·5π16=45π32.

    Ответ: S(G)=45π32

    В тех случаях, когда в полярной системе координат задается множество кривых, которые по форме напоминают листья клевера или цветка, площадь фигур, ограниченных этими кривыми, часто одинаковы. В этих случаях можно вычислить площадь одного «лепестка» и умножить ее на количество криволинейных фигур.

    Пример 3

    Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярной системе координат, которая ограничена линией r=3·cos(3φ).

    Решение

    Найдем область определения, исходя из того, что эта функция неотрицательна для любого φ из области определения.

    cos(3φ)0-π2+2πk3φπ2+2πk, kZ-π6+2π3kφπ6+2π3k, kZ

    Таким образом, период функции r=3·cos3φ равен 2π3. Это значит, что фигура состоит из трех областей одинаковой площади.

    Построим фигуру на графике.

    Вычислим площадь одного участка, расположенного на интервале φπ2; 5π6(при k=1):

    12π25π69cos(3φ)dφ=12·3sin(3φ)π25π6=32sin3·5π6-sin3·π2=32(1-(-1)=3

    Ответ: Площадь всей фигуры будет равна площади найденного участка, умноженной на 3.

    Аналогичным образом можно найти площади фигур, имеющих сходное строение. Примером может служить лемниската Бернулли.

    Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли

    Определение 4

    Лемниската Бернулли задается уравнением r=α·cos2φ где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при -π4+π·kφπ4+π·k, kZ.

    Лемниската служит границей фигуры, которую можно представить как два равных по площади участка.

    Для вычисления площади используем нужную формулу:

    S(G)=2·12-π4π4a2cos(2φ)2φ=a22(sin(2φ))-π4π4==a22sin2·π4-sin2·-π4=a2

    Получается, что площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли, равна квадрату коэффициента a.

    Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

    В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида r=2a(1+cosφ). В этом уравнении a – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом 2π. Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число,  а верхним, то, которое на 2π больше нижнего.

    Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=2a(1+cosφ), для φ0; 2π:

    S(G)=1202π(2a(1+cosφ))2dφ=2a202π(1+2cosφ+cos2φ)dφ==2a202π1+2cosφ+1+cos2φ2dφ==2a202π32+2cosφ+cos(2φ)2dφ==2a232φ+2sin φ+14sin2φ02π=6π·a2

    Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля

    В полярной системе координат улитка Паскаля может быть задана уравнением r=b+2a·cosφ. В этом уравнении a – это некоторое положительное число, b – любое действительное число. Кардиоиду можно рассматривать как частный случай улитки Паскаля. Получить кардиоиду можно при  b=2a.

    Улитка Паскаля в зависимости от значений параметров a и b может принимать различный вид. В данном разделе мы рассмотрим случаи, когда  функцию r неотрицательная.

    При b<-2a функция r=b+2a·cosφ будет отрицательной для любого значения угла φ.

    При b=-2a улитка Паскаля имеет вид точки, которая совпадает с полюсом.

    При -2a< b< 0 функция r=b+2a·cosφ неотрицательна для φ-arccos-b2a+2πk; arccos-b2a+2πk, kZ.

    При 0<b<2a функция r=b+2a·cosφ неотрицательна для φ-arccos-b2a+2πk; arccos-b2a+2πk, kZ. Она ограничивает фигуру, которая по конфигурации напоминает кардиоиду.

    При b>2a функция r=b+2a·cosφ является неотрицательной для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже

    Для того, чтобы правильно определить пределы интегрирования, необходимо учитывать соотношение параметров a и b.

    Пример 4

    Необходимы вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями, заданными уравнениями r=-3+6cosφ и r=5+4cosφ в полярной системе координат.

    Решение

    Формула r=-3+6cosφ соответствует фигуре, известной как улитка Паскаля..

    Функция r=-3+6cosφ определена для всех значений угла φ. Нам необходимо выяснить, при каких φ функция будет неотрицательной:

    -3+6cosφ0cosφ12-π3+2πkφπ3+2πk, kZ

    Проведем вычисление площади фигуры, которая ограничена данной улиткой Паскаля: 

    S(G)=12-π3π3(-3+6cosφ)2dφ=92-π3π3(1-4cosφ+4cos2φ)dφ==92-π3π31-4cosφ+4·1+cos2φ2dφ==92-π3π3(3-4cosφ+2cos(2φ))dφ=92·3φ-4sinφ+sin(2φ-π3π3==92·3·π3-4sinπ3+sin2π3-3·-π3-4sin-π3+sin-2π3==92·2π-33

    Улитка Паскаля, определяемая формулой r=5+4cosφ, соответствует пятому пункту. Функция r=5+4cosφ определена и положительна для всех действительных значений φ. Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:

    S(G)=1202π(5+4cosφ)2dφ=1202π(25+40cosφ+16cos2φ)dφ==1202π25+40cosφ+16·1+cos(2φ)2dφ==1202π(33+40cosφ+8cos(2φ))dφ=12·33φ+40sinφ+4sin(2φ02π==12·33·2π+40sin(2π+4sin(4π)-33·0+40sin 0+4sin 0=33π

    Ответ: S(G)=33π

    Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

    Сразу обратимся к примеру.

    Пример 5

    Необходимо вычислить площадь фигур в полярной системе координат, первая из которых ограничена первым витком спирали Архимеда r=αφ, α>0, а вторая первым витком логарифмической спирали r=αφ, α>1.

    Решение

    Если в задаче сказано, что фигура ограничена первым витком спирали Архимеда, то угол φ изменяется от нуля до двух пи.

    Исходя из этого, найдем площадь фигуры по формуле:

    S(G)=1202π(αφ)2dϕ=α2202πφ2dφ=α22·φ3302π=4α3π33

    Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:

    S(G)=1202π(αϕ)2dϕ=1202πa2φdφ=14ln a·a2φ02π==14ln a·a4π-1

    Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

    Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами φ=α, φ=β и непрерывными и неотрицательными на интервале φα; β функциями r=p1(φ) и r=p2(φ), причем p1(φ)p2(φ) для любого угла φ=φ0α; β.

    Находим площадь фигуры по формуле S(G)=12αβp22(φ)-p12(φ)dφ.

    Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов G2 и G1.

    Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:

    S(G)=S(G2)-S(G1)=12αβp22(φ)dφ-12αβp12(φ)dφ==12αβp22(φ)-p12(φ)dφ

    Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

    Пример 6

    Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями φ=0, φ=π3, r=32, r=12φв полярной системе координат.

    Решение

    Построим заданную фигуру на графике.

    Очевидно, что r=32 больше r=12φ для любого φ0; π3. Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:

    S(G)=120π3322-12φ2dφ=120π394-2-2φdφ==12·94φ+12·2-2φln 20π3=12·94φ+1ln 2·122φ+10π3==12·94·π3+1ln 2·122·π3+1-94·0+1ln 2·122·0+1==12·3π4+2-2π3-12·ln 2

    Ответ: S(G)=12·3π4+2-2π3-12·ln 2

    А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.

    Пример 7

    Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена прямыми линиями y=13x, x=3x, окружностями (x-2)2+(y-3)2=13, (x-4)2+(y-3)2=25.

    Решение

    В прямоугольной системе координат вычислить площадь полученной фигуры можно, но дело это долгое и хлопотное. Намного проще перейти к полярной системе координат, воспользовавшись формулами перехода.

    x=r·cosφy=r·sinφy=13xr·sinφ=r·cosφ3tgφ=13φ=π6+πky=3xr·sinφ=3·r·cosφtgφ=3φ=π3+πk(x-2)2+(y-3)2=13x2+y2=4x+6yr=4cosφ+6sinφ(x-4)2+(y-3)2=25x2+y2=8x+6yr=8cosφ+6sinφ

    Функция r=8cosφ+6sinφ больше r=4cosφ+6sinφ для любого φπ6; π3. Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:

    S(G)=12π6π38cosφ+6sinφ2-4cosφ+6sinφ2dφ==12π6π3(48cos2φ+48cosφ·sinφ)dφ==24π6π3cos2φdφ+24π6π3cosφ·sinφdφ==12π6π3(1+cos2φ)dφ+24π6π3sinφd(sinφ)==12·φ+12sin(2φ)π6π3+12·sin2φπ6π3==12·π3+12sin2π3-π6+12sin2π6+12·sin2π3-sin2π6==12·π6+12·322-122=2π+6

    Ответ: S(G)=2π+6

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (5 голосов)