Геометрический смысл определенного интеграла, выражение площади криволинейной трапеции
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Геометрический смысл определенного интеграла

    Вычисление площади является основным  в теории площадей. Возникает вопрос о ее нахождении, когда фигура имеет неправильную форму или необходимо прибегнуть к ее вычислению через интеграл.

    Данная статья рассказывает о вычислении площади криволинейной трапеции по геометрическому смыслу.  Это позволяет выявлять связь между  интегралом и площадью криволинейной трапеции. Если дана функция f(x), причем непрерывная на интервале [a; b], знак перед выражением не меняется.

    Криволинейная трапеция

    Определение 1

    Фигура, обозначенная как G, ограничена линиями вида y = f(x), y = 0, x = a и x = b, называется криволинейной трапецией. Она принимает обозначение S(G).

    Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Для вычисления криволинейно трапеции необходимо разбить отрезок  [a; b] на количество n частей xi-1; xi, i=1, 2,..., n с точками, определенными на a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b, причем дать обозначение λ=maxi=1, 2,..., nxi-xi-1 с точками xi, i=1, 2,..., n-1. Необходимо выбрать так, чтобы λ0 при n+, тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Отсюда имеем, что PGQ, причем при увеличении количества точек разбиения n, получим неравенство вида S-s<ε, где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка  [a; b]. Иначе это запишется как limλ0S-s=0. Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что limλ0S=limλ0s=SG=abf(x)dx.

    Из последнего равенства получим, что определенный интеграл вида abf(x)dx является площадью криволинейной трапеции для заданной непрерывной функции вида y=f(x). Это и есть геометрический смысл определенного интеграла.

    При вычислении abf(x)dx получим площадь искомой фигуры, которая ограничивается линиями  y = f(x), y = 0, x = a и x = b.

    Замечание: Когда функция y=f(x) является неположительной из отрезка [a; b], тогда получаем, что площадь криволинейной трапеции вычисляется, исходя из формулы S(G)=-abf(x)dx.

    Пример 1

    Вычислить площадь фигуры, которая ограничена заданными линиями вида y=2·ex3, y=0, x=-2, x=3.

    Решение

    Для того, чтобы решить, необходимо для начал построить фигуру на плоскости, где имеется прямая y=0, совпадающая с Ох, с прямыми  вида x = -2 и x = 3, параллельными оси оу, где кривая y=2·ex3 строится при помощи геометрических преобразований графика функции y=ex. Построим график.

    Отсюда видно, что необходимо найти площадь криволинейной трапеции. Вспоминая геометрический смысл интеграла, получаем, что искомая площадь и будет выражена определенным интегралом, который необходимо разрешить. Значит, необходимо применить формулу S(G)=-232·ex3dx. Такой неопределенный интеграл вычисляется, исходя из формулы Ньютона-Лейбница

    S(G)=-232·ex3dx=6·ex3-23=6·e33-6·e-23=6·e-e-23

    Ответ: S(G)=6·e-e-23

    Замечание: Для нахождения площади криволинейной трапеции не всегда можно построить фигуру. Тогда решение выполняется следующим образом. При известной функции f(x) неотрицательной или неположительной на отрезке  [a; b], применяется формула вида SG=abf(x)dx или SG=-abf(x)dx.

    Пример 2

    Произвести вычисление площади, ограниченной линиями вида y=13(x2+2x-8), y=0, x=-2, x=4.

    Решение

    Для построения этой фигуры получим, что у=0 совпадает с Ох, а х=-2 и х=4 являются параллельными Оу. График функции y=13(x2+2x-8)=13(x+1)2-3 - это парабола с координатами точки (-1; 3), являющейся ее вершиной с направленными вверх ветвями. Чтобы найти точки пересечения параболы с Ох, необходимо вычислить:

    13(x2+2x-8)=0x2+2x-8=0D=22-4·1·(-8)=36x1=-2+362=2, x2=-2-362=-4

    Значит, парабола пересекает ох в точках (4;0) и (2;0). Отсюда получим, что фигура, обозначенная как G, получит вид, изображенный на рисунке ниже.

    Данная фигура не является криволинейной трапецией, потому как функция вида y=13(x2+2x-8) изменяет знак на промежутке [-2; 4]. Фигура G может быть представлена в виде объединений двух криволинейных трапеций G=G1G2, исходя из свойства аддитивности площади, имеем, что S(G)=S(G1)+S(G2). Рассмотрим график, приведенный ниже.

    Отрезок [-2; 4] считается неотрицательной областью параболы, тогда отсюда получаем, что площадь будет иметь вид SG2=2413(x2+2x-8)dx. Отрезок [-2; 2] неположительный для функции вида y=13(x2+2x-8), значит, исходя из геометрического смысла определенного интеграла, получим, что S(G1)=--2213(x2+2x-8)dx. Необходимо произвести вычисления по формуле Ньютона-Лейбница. Тогда определенный интеграл примет вид:

    S(G)=S(G1)+S(G2)=--2213(x2+2x-8)dx+2413(x2+2x-8)dx==-13x33+x2-8x-22+13x33+x2-8x24==-13233+22-8·2--233+(-2)2-8·(-2)++13433+43-8·4-233+22-8·2==-1383-12+83-20+13643-16-83+12=1249

    Стоит отметить, что нахождение площади не верно по принципу S(G)=-2413(x2+2x-8)dx=13x33+x2-8x-24==13433+43-8·4--233+-22-8·-2=13643-16+83-20=-4

    Так как полученное число является отрицательным и представляет собой разность S(G2)-S(G1).

    Ответ: S(G)=S(G1)+S(G2)=1249

    Если фигуры ограничены линиями вида y=c, y= d, x=0 и x=g(y), а функция равна x=g(y), причем непрерывна и имеет неменяющийся знак на промежутке [c; d], то их называют криволинейными тарпециями. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Геометрический смысл определенного интеграла

    Определение 2

    Геометрический смысл определенного интеграла cdg(y)dy заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида x=g(y), расположенной на интервале [c;d].

    Справедливо считать, что S(G)=-cdg(y)dy имеет место быть для непрерывной и неположительной функции x=g(x), расположенном на отрезке  [c;d].

    Пример 3

    Произвести вычисление фигуры, которая ограничена осью ординат и линиями x=4ln yy+3, y=1, y=4.

    Решение

    Построение графика x=4ln yy+3 не является простым. Поэтому необходимо решить без чертежа. Вспомним, что функция определена для всех положительных значений y. Рассмотрим значения функции, имеющиеся на отрезке [1; 4]. По свойствам элементарных функций знаем, что логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Тогда не отрезке [1; 4] является неотрицательной. Значит имеем, что ln y0.  Имеющееся выражение ln yy, определенное на том же отрезке, неотрицательно. Можно сделать вывод, что функция x=4ln yy+3 является положительной на интервале, равном [1; 4]. Получаем, что фигура на этом интервале является положительной. Тогда ее площадь должна вычисляться по формуле S(G)=144ln yy+3dy.

    Необходимо произвести вычисление неопределенного интеграла. Для этого необходимо найти первообразную функции x=4ln yy+3 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Получаем, что

    4ln yy+3dy=4ln yydy+3dy=4ln yd(ln y)+3y==4ln2y2+3y+C=2ln2y+3y+CS(G)=144ln yy+3dy=2ln2+y+3y14==2ln24+3·4-(2ln21+3·1)=8ln22+9

    Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

    Ответ: S(G)=8ln22+9

    Итоги

    В данной статье мы выявили геометрический смысл определенного интеграла и изучили связь с площадью криволинейной трапеции. Отсюда следует, что мы имеем возможность вычислять площадь сложных фигур при помощи вычисления интеграла для криволинейной трапеции. В разделе нахождения площадей и фигур, которые ограниченными линиями y=f(x), x=g(y), данные примеры рассмотрены подробно.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (5 голосов)