Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1

Когда функция $y = y (x)$ является непрерывной из отрезка $[a; b]$ ,а $F (x)$ является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

Когда функция $y = f (x)$ непрерывна из отрезка $[a; b]$ , тогда значение аргумента $x \in [a; b]$ , а интеграл имеет вид $\int_{a}^{x} f (t) d t$ и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид $\int_{a}^{x} f (t) d t = Φ (x)$ , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ${(\int_{a}^{x} f (t) d t)}^{'} = Φ^{'} (x) = f (x)$ .

Зафиксируем, что приращении функции $Φ (x)$ соответствует приращению аргумента $∆ x$ , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

$Φ (x + ∆ x) - Φ (x) = \int_{a}^{x + ∆ x} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t = = \int_{a}^{x + ∆ x} f (t) d t = f (c) \cdot (x + ∆ x - x) = f (c) \cdot ∆ x$

где значение $c \in [x; x + ∆ x]$ .

Зафиксируем равенство в виде $\frac{Φ (x + ∆ x) - Φ (x)}{∆ x} = f (c)$ . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при $∆ x \to 0$ , тогда получаем формулу вида $Φ' (x) = f (x)$ . Получаем, что $Φ (x)$ является одной из первообразных для функции вида $y = f (x)$ , расположенной на $[a; b]$ . Иначе выражение можно записать

$F (x) = Φ (x) + C = \int_{a}^{x} f (t) d t + C$ , где значение $C$ является постоянной.

Произведем вычисление $F (a)$ с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

$F (a) = Φ (a) + C = \int_{a}^{a} f (t) d t + C = 0 + C = C$ , отсюда получаем, что $C = F (a)$ . Результат применим при вычислении $F (b)$ и получим:

$F (b) = Φ (b) + C = \int_{a}^{b} f (t) d t + C = \int_{a}^{b} f (t) d t + F (a)$ , иначе говоря, $F (b) = \int_{a}^{b} f (t) d t + F (a)$ . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f (x) d x + F (b) - F (a)$ .

Приращение функции принимаем как ${(F (x))}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид $\int_{a}^{b} f (x) d x = {(F (x))}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .

Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных $y = F (x)$ подынтегральной функции $y = f (x)$ из отрезка $[a; b]$ , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 1

Произвести вычисление определенного интеграла $\int_{1}^{3} x^{2} d x$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Рассмотрим, что подынтегральная функция вида $y = x^{2}$ является непрерывной из отрезка $[1; 3]$ , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция $y = x^{2}$ имеет множество первообразных для всех действительных значений $x$ , значит, $x \in [1; 3]$ запишется как $F (x) = \int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Необходимо взять первообразную с $С = 0$ , тогда получаем, что $F (x) = \frac{x^{3}}{3}$ .

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид $\int_{1}^{3} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{3}}_{1}^{3} = \frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{26}{3}$ .

Ответ: $\int_{1}^{3} x^{2} d x = \frac{26}{3}$

Пример 2

Произвести вычисление определенного интеграла $\int_{- 1}^{2} x \cdot e^{x^{2} + 1} d x$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Заданная функция непрерывна из отрезка $[- 1; 2]$ , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла $\int x \cdot e^{x^{2} + 1} d x$ при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем $\int x \cdot e^{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int e^{x^{2} + 1} d (x^{2} + 1) = \frac{1}{2} e^{x^{2} + 1} + C$ .

Отсюда имеем множество первообразных функции $y = x \cdot e^{x^{2} + 1}$ , которые действительны для всех $x$ , $x \in [- 1; 2]$ .

Необходимо взять первообразную при $С = 0$ и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

$\int_{- 1}^{2} x \cdot e^{x^{2} + 1} d x = {(\frac{1}{2} e^{x^{2} + 1})}_{- 1}^{2} = = \frac{1}{2} e^{2^{2} + 1} - \frac{1}{2} e^{(- 1)^{2} + 1} = \frac{1}{2} e^{(- 1)^{2} + 1} = \frac{1}{2} e^{2} (e^{3} - 1)$

Ответ: $\int_{- 1}^{2} x \cdot e^{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} e^{2} (e^{3} - 1)$

Пример 3

Произвести вычисление интегралов $\int_{- 4}^{- \frac{1}{2}} \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}} d x$ и $\int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}} d x$ .

Решение

Отрезок $[- 4; - \frac{1}{2}]$ говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции $y = \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}}$ . Получаем, что

$\int \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}} d x = 4 \int x d x + 2 \int x^{- 2} d x = 2 x^{2} - \frac{2}{x} + C$

Необходимо взять первообразную $F (x) = 2 x^{2} - \frac{2}{x}$ , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

$\int_{- 4}^{- \frac{1}{2}} \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}} d x = {(2 x^{2} - \frac{2}{x})}_{- 4}^{- \frac{1}{2}} = 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{2}{- \frac{1}{2}} - (2 {(- 4)}^{2} - \frac{2}{- 4}) = \frac{1}{2} + 4 - 32 - \frac{1}{2} = - 28$

Производим переход к вычислению второго интеграла.

Из отрезка $[- 1; 1]$ имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как $\lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}} = + \infty$ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда $F (x) = 2 x^{2} - \frac{2}{x}$ не является первообразной для $y = \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}}$ из отрезка $[- 1; 1]$ , так как точка $O$ принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции $y = \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}}$ из отрезка $[- 1; 1]$ .

Ответ: $\int_{- 4}^{- \frac{1}{2}} \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}} d x = - 28$ , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции $y = \frac{4 x^{3} + 2}{x^{2}}$ из отрезка $[- 1; 1]$ .

Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле

Когда функция $y = f (x)$ является определенной и непрерывной из отрезка $[a; b]$ , тогда имеющееся множество $[a; b]$ считается областью значений функции $x = g (z)$ , определенной на отрезке $[α; β]$ с имеющейся непрерывной производной, где $g (α) = a$ и $g (β) = b$ , отсюда получаем, что $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (z)) \cdot g^{'} (z) d z$ .

Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , где неопределенный интеграл имеет вид $\int f (x) d x$ , вычисляем при помощи метода подстановки.

Пример 4

Произвести вычисление определенного интеграла вида $\int_{9}^{18} \frac{1}{x \sqrt{2 x - 9}} d x$ .

Решение

Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что $\sqrt{2 x - 9} = z \Rightarrow x = g (z) = \frac{z^{2} + 9}{2}$ . Значение $х = 9$ , значит, что $z = \sqrt{2 \cdot 9 - 9} = \sqrt{9} = 3$ , а при $х = 18$ получаем, что $z = \sqrt{2 \cdot 18 - 9} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ , тогда $g (α) = g (3) = 9, g (β) = g (3 \sqrt{3}) = 18$ . При подстановке полученных значений в формулу $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (z)) \cdot g' (z) d z$ получаем, что

$\int_{9}^{18} \frac{1}{x \sqrt{2 x - 9}} d x = \int_{3}^{3 \sqrt{3}} \frac{1}{\frac{z^{2} + 9}{2} \cdot z} \cdot {(\frac{z^{2} + 9}{2})}^{'} d z = = \int_{3}^{3 \sqrt{3}} \frac{1}{\frac{z^{2} + 9}{2} \cdot z} \cdot z d z = \int_{3}^{3 \sqrt{3}} \frac{2}{z^{2} + 9} d z$

По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции $\frac{2}{z^{2} + 9}$ принимает значение $\frac{2}{3} a r c t g \frac{z}{3}$ . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

$\int_{3}^{3 \sqrt{3}} \frac{2}{z^{2} + 9} d z = {(\frac{2}{3} a r c t g \frac{z}{3})}_{3}^{3 \sqrt{3}} = \frac{2}{3} a r c t g \frac{3 \sqrt{3}}{3} - \frac{2}{3} a r c t g \frac{3}{3} = \frac{2}{3} (a r c t g \sqrt{3} - a r c t g 1) = \frac{2}{3} (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{π}{18}$

Нахождение можно было производить, не используя формулу $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (z)) \cdot g' (z) d z$ .

Если при методе замены использовать интеграл вида $\int \frac{1}{x \sqrt{2 x - 9}} d x$ , то можно прийти к результату $\int \frac{1}{x \sqrt{2 x - 9}} d x = \frac{2}{3} a r c t g \frac{\sqrt{2 x - 9}}{3} + C$ .

Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

$\int_{9}^{18} \frac{2}{z^{2} + 9} d z = {(\frac{2}{3} a r c t g \frac{z}{3})}_{9}^{18} = = \frac{2}{3} (a r c t g \frac{\sqrt{2 \cdot 18 - 9}}{3} - a r c t g \frac{\sqrt{2 \cdot 9 - 9}}{3}) = = \frac{2}{3} (a r c t g \sqrt{3} - a r c t g 1) = \frac{2}{3} (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{π}{18}$

Результаты совпали.

Ответ: $\int_{9}^{18} \frac{2}{x \sqrt{2 x - 9}} d x = \frac{π}{18}$

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

Если на отрезке $[a; b]$ определены и непрерывны функции $u (x)$ и $v (x)$ , тогда их производные первого порядка $v' (x) \cdot u (x)$ являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции $u' (x) \cdot v (x)$ равенство $\int_{a}^{b} v' (x) \cdot u (x) d x = {(u (x) \cdot v (x))}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u' (x) \cdot v (x) d x$ справедливо.

Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , причем $\int f (x) d x$ необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

Пример 5

Произвести вычисление определенного интеграла $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \cdot \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) d x$ .

Решение

Функция $x \cdot \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})$ интегрируема на отрезке $[- \frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}]$ , значит она непрерывна.

Пусть $u (x) = х$ , тогда $d (v (x)) = v' (x) d x = \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) d x$ , причем $d (u (x)) = u' (x) d x = d x$ , а $v (x) = - 3 \cos (\frac{π}{3} + \frac{π}{6})$ . Из формулы $\int_{a}^{b} v' (x) \cdot u (x) d x = {(u (x) \cdot v (x))}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u' (x) \cdot v (x) d x$ получим, что

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \cdot \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) d x = {(- 3 x \cdot \cos (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}))}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} (- 3 \cos (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})) d x = = {(- 3 \cdot \frac{3 π}{2} \cdot \cos (\frac{π}{2} + \frac{π}{6}) - (- 3 \cdot (- \frac{π}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6}))) + 9 \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} = \frac{9 π}{4} - \frac{3 π}{2} + 9 (\sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{6}) - \sin (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})) = \frac{9 π}{4} - \frac{3 π}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 π}{4} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Решение примера можно выполнить другим образом.

Найти множество первообразных функции $x \cdot \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})$ при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

$\int x \cdot \sin x (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) d x = \{u = x, d v = \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) d x \Rightarrow d u = d x, v = - 3 \cos (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})\} = = - 3 \cos (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) + 3 \int \cos (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) d x = = - 3 x \cos (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) + 9 \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) + C \Rightarrow \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \cdot \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) d x = (- 3 \cos (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) + 9 sincos (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})) - - (- 3 \cdot (- \frac{π}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6}) + 9 \sin (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})) = = \frac{9 π}{4} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 π}{2} - 0 = \frac{3 π}{4} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\int x \cdot \sin x (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) d x = \frac{3 π}{4} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.