Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

    Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

    Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

    Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

    Формула Ньютона-Лейбница

    Определение 1

    Когда функция y=y(x) является непрерывной из отрезка [a; b] ,а F(x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так abf(x)dx=F(b)-F(a).

    Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

    Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

    Когда функция y=f(x) непрерывна из отрезка [a; b], тогда значение аргумента xa; b, а интеграл имеет вид axf(t)dt и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид axf(t)dt=Φ(x), она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида axf(t)dt'=Φ'(x)=f(x).

    Зафиксируем, что приращении функции Φ(x) соответствует приращению аргумента x, необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

    Φ(x+x)-Φx=ax+xf(t)dt-axf(t)dt==ax+xf(t)dt=f(c)·x+x-x=f(c)·x

    где значение cx; x+x.

    Зафиксируем равенство в виде Φ(x+x)-Φ(x)x=f(c).  По определению производной функции необходимо переходить к пределу при x0, тогда получаем формулу вида Φ'(x)=f(x). Получаем, что Φ(x) является одной из первообразных для функции вида y=f(x), расположенной на [a; b]. Иначе выражение можно записать

    F(x)=Φ(x)+C=axf(t)dt+C, где значение C является постоянной.

    Произведем вычисление F(a) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

    F(a)=Φ(a)+C=aaf(t)dt+C=0+C=C, отсюда получаем, что C=F(a). Результат применим при вычислении F(b) и получим:

    F(b)=Φ(b)+C=abf(t)dt+C=abf(t)dt+F(a), иначе говоря, F(b)=abf(t)dt+F(a). Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница abf(x)dx+F(b)-F(a).

    Приращение функции принимаем как Fxab=F(b)-F(a). С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид abf(x)dx=Fxab=F(b)-F(a).

    Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) из отрезка [a; b] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

    Пример 1

    Произвести вычисление определенного интеграла 13x2dx по формуле Ньютона-Лейбница.

    Решение

    Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y=x2 является непрерывной из отрезка [1;3], тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что  функция y=x2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x, значит, x1; 3 запишется как F(x)=x2dx=x33+C. Необходимо взять первообразную с С=0, тогда получаем, что F(x)=x33.

    Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид 13x2dx=x3313=333-133=263.

    Ответ: 13x2dx=263

    Пример 2

    Произвести вычисление определенного интеграла -12x·ex2+1dx по формуле Ньютона-Лейбница.

    Решение

    Заданная функция непрерывна из отрезка [-1;2], значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла x·ex2+1dx при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем x·ex2+1dx=12ex2+1d(x2+1)=12ex2+1+C.

    Отсюда имеем множество первообразных функции y=x·ex2+1, которые действительны для всех x, x-1; 2.

    Необходимо взять первообразную при С=0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

    -12x·ex2+1dx=12ex2+1-12==12e22+1-12e(-1)2+1=12e(-1)2+1=12e2(e3-1)

    Ответ: -12x·ex2+1dx=12e2(e3-1)

    Пример 3

    Произвести вычисление интегралов -4-124x3+2x2dx и -114x3+2x2dx.

    Решение

    Отрезок -4; -12 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y=4x3+2x2. Получаем, что

    4x3+2x2dx=4xdx+2x-2dx=2x2-2x+C

    Необходимо взять первообразную F(x)=2x2-2x, тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

    -4-124x3+2x2dx=2x2-2x-4-12=2-122-2-12-2-42-2-4=12+4-32-12=-28

    Производим переход к вычислению второго интеграла.

    Из отрезка [-1;1] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как limx04x3+2x2=+, тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости  из отрезка. Тогда F(x)=2x2-2x не является первообразной для y=4x3+2x2из отрезка [-1;1], так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y=4x3+2x2 из отрезка [-1;1].

    Ответ: -4-124x3+2x2dx=-28имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y=4x3+2x2 из отрезка [-1;1].

    Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

    Замена переменной в определенном интеграле

    Когда функция y=f(x) является определенной и непрерывной из отрезка [a;b], тогда имеющееся множество [a;b] считается областью значений функции x=g(z), определенной на отрезке α; β с имеющейся непрерывной производной, где g(α)=a и gβ=b, отсюда получаем, что abf(x)dx=αβf(g(z))·g'(z)dz.

    Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл abf(x)dx, где неопределенный интеграл имеет вид f(x)dx, вычисляем при помощи метода подстановки.

    Пример 4

    Произвести вычисление определенного интеграла вида 9181x2x-9dx.

    Решение

    Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2x-9=zx=g(z)=z2+92. Значение х=9, значит, что z=2·9-9=9=3, а при х=18 получаем, что z=2·18-9=27=33, тогда gα=g(3)=9, gβ=g33=18. При подстановке полученных значений в формулу abf(x)dx=αβf(g(z))·g'(z)dz получаем, что

    9181x2x-9dx=3331z2+92·z·z2+92'dz==3331z2+92·z·zdz=3332z2+9dz

    По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2z2+9 принимает значение 23arctgz3. Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

    3332z2+9dz=23arctgz3333=23arctg333-23arctg33=23arctg3-arctg 1=23π3-π4=π18

    Нахождение можно было производить, не используя формулу abf(x)dx=αβf(g(z))·g'(z)dz.

    Если при методе замены использовать интеграл вида 1x2x-9dx, то можно прийти к результату 1x2x-9dx=23arctg2x-93+C.

    Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

    9182z2+9dz=23arctgz3918==23arctg2·18-93-arctg2·9-93==23arctg3-arctg 1=23π3-π4=π18

    Результаты совпали.

    Ответ: 9182x2x-9dx=π18

    Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

    Если на отрезке [a;b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x), тогда их производные первого порядка v'(x)·u(x) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u'(x)·v(x) равенство abv'(x)·u(x)dx=(u(x)·v(x))ab-abu'(x)·v(x)dx справедливо.

    Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл abf(x)dx, причем f(x)dx необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

    Пример 5

    Произвести вычисление определенного интеграла -π23π2x·sinx3+π6dx.

    Решение

    Функция x·sinx3+π6 интегрируема на отрезке -π2; 3π2, значит она непрерывна.

    Пусть u(x)=х, тогда d(v(x))=v'(x)dx=sinx3+π6dx, причем d(u(x))=u'(x)dx=dx, а v(x)=-3cosπ3+π6. Из формулы abv'(x)·u(x)dx=(u(x)·v(x))ab-abu'(x)·v(x)dx получим, что

    -π23π2x·sinx3+π6dx=-3x·cosx3+π6-π23π2--π23π2-3cosx3+π6dx==-3·3π2·cosπ2+π6--3·-π2·cos-π6+π6+9sinx3+π6-π23π2=9π4-3π2+9sinπ2+π6-sin-π6+π6=9π4-3π2+932=3π4+932

    Решение примера можно выполнить другим образом.

    Найти множество первообразных функции x·sinx3+π6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

    x·sinxx3+π6dx=u=x, dv=sinx3+π6dxdu=dx, v=-3cosx3+π6==-3cosx3+π6+3cosx3+π6dx==-3xcosx3+π6+9sinx3+π6+C-π23π2x·sinx3+π6dx=-3cosx3+π6+9sincosx3+π6---3·-π2·cos-π6+π6+9sin-π6+π6==9π4+932-3π2-0=3π4+932

    Ответ: x·sinxx3+π6dx=3π4+932

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter