Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

    Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

    Таблица первообразных

    Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx=F(x)+C и k·f(x)dx=k·f(x)dx можно составить таблицу первообразных.

    Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

    Постоянная y=C

    C'=0

    Степенная функция y=xp.

    (xp)'=p·xp-1

    Постоянная y=C

    d(C)=0·dx

    Степенная фунция y=xp.

    d(xp)=p·xp-1·dx

    Показательная функция y=ax.

    (ax)'=ax·ln a

    В частности при a=e имеем y=ex

    ex'=ex

    Показательная функция y=ax.

    d(ax)=ax·ln α·dx

    В частности при a=e имеем y=ex

    d(ex)=ex·dx 

    Логарифмические функия y=logax.

    logax'=1x·ln a

    В частности при a=e имеем y=ln x

    ln x'=1x

    Логарифмические функия y=logax.

    d(logax)=dxx·ln a

    В частности при a=e имеем y=ln x

    d(ln x)=dxx

    Тригонометрические функции.

    sin x'=cos x(cos x)'=-sin x(tg x)'=1cos2 x(ctg x)'=-1sin2x

    Тригонометрические функции.

    dsin x=cos x·dxd(cos x)=-sin x·dxd(tg x)=dxcos2 xd(ctg x)=-dxsin2x

    Обратные тригонометрические фунции.

    arcsin x'=11-x2arccos x'=-11-x2arctg x'=11+x2arcctg x'=-11+x2

    Обратные тригонометрические фунции.

    darcsin x=dx1-x2darccos x=-dx1-x2darctg x=dx1+x2darcctg x=-dx1+x2

    Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f(x)=xp.

    Согласно таблице дифференциалов d(xp)=p·xp-1·dx . По свойствам неопределенного интеграла имеем d(xp)=p·xp-1·dx=p·xp-1·dx=xp+C. Следовательно, xp-1·dx=xpp+Cp, p0.Второй вариант записи выглядит следующим образом: xp·dx=xp+1p+1+Cp+1=xp+1p+1+C1, p-1.

    Примем равным -1, найдем множество первообразных степенной функции f(x)=xp : xp·dx=x-1·dx=dxx .

    Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d(ln x)=dxx, x>0 , следовательно d(ln x)=dxx=ln x. Поэтому dxx=ln x, x>0.

    Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

    xp·dx=xp+1p+1+C, p-10·dx=Cax·dx=axln a+C, a1ex·dx=ex+Cdxx=lnx+Ccos x·dx=sin x+Csin x·dx=-cos x+Cdxcos2x=tg x+Cdxsin2x=-ctg x+Cdx1-x2=arcsin x +Cdx1+x2=arctg x+C dxa2+x2=1aarctgxa+Cdxa2-x2=arcsinxa+Cdxx2-a2=12alnx-ax+a+Cdxx2±a2=lnx+x2±a+Cdxsin x=ln1-cos xsin x+Cdxcos x=ln1+sin xcos x+C

    В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

    Непосредственное интегрирование

    Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C , а также свойства неопределенных интегралов k·f(x)dx=k·f(x)dx(f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx

    Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

    Пример 1

    Найдем интеграл 3sinx2+cosx22dx

    Решение

    Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3:

    3sinx2+cosx22dx=3sinx2+cosx22dx

    По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:

    3sinx2+cosx22dx=3sinx22+2sinx2cosx2+cosx22dx==31+2sinx2cosx2dx=31+sin xdx

    Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
    31+sin xdx=31·dx+sin xdx

    Используем данные из таблицы первообразных: 31·dx+sin xdx=3(1·x+C1-cos x+C2)==пусть 3С1+С2=С=3x-3cos x+C

    Ответ: 3sinx2+cosx22dx=3x-3cos x+C.

    Пример 2

    Необходимо найти множество первообразных функции f(x)=234x-7 .

    Решение

    Используем таблицу первообразных для показательной функции: ax·dx=axln a+C . Это значит, что 2x·dx=2xln 2+C.

    Используем правило интегрирования f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C.

    Получаем 234x-7·dx=134·234x-7ln 2+C=43·234x-7ln 2+C .

    Ответ: f(x)=234x-7=43·234x-7ln 2+C

    Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

    Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (5 голосов)