Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций

    Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой  при помощи метода интегрирования.

    Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа kx+bp dx, где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.

    Пример 1

    Найти и вычислить первообразные функции y=13x-13.

    Решение

    По правилу интегрирования необходимо применить формулу f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C, а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что

    dx3x-13=(3x-1)-13dx=13·1-13+1·(3x-1)-13+1+C==12(3x-1)23+C

    Ответ: dx3x-13=12(3x-1)23+C.

    Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида f'(x)·(f(x))pdx, когда значение p считается рациональной дробью.

    Пример 2

    Найти неопределенный интеграл 3x2+5x3+5x-776dx.

    Решение

    Отметим, что dx3+5x-7=x3+5x-7'dx=(3x2+5)dx. Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что

    3x2+5x3+5x-776dx=(x3+5x-7)-76·(3x2+5)dx==(x3+5x-7)-76d(x3+5x-7)=x3+5x-7=z==z-76dz=1-76+1z-76+1+C=-6z-16+C=z=x3+5x-7=-6(x3+5x-7)6+C

    Ответ: 3x2+5x3+5x-776dx=-6(x3+5x-7)6+C.

    Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида dxx2+px+q, где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что

    x2+px+q=x2+px+p22-p22+q=x+p22+4q-p24

    Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:

    dxx2±α=lnx+x2±α+C

    Тогда вычисление интеграла производится:

    dxx2+px+q=dxx+p22+4q-p24==lnx+p2+x+p22+4q-p24+C==lnx+p2+x2+px+q+C

    Пример 3

    Найти неопределенный интеграл вида dx2x2+3x-1.

    Решение

    Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:

    dx2x2+3x-1=dx2x2+32x-12=12dxx2+32x-12

    Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что

    x2+32x-12=x2+32x+342-342-12=x+342-1716

    Тогда получаем неопределенный интеграл вида 12dxx2+32x-12=12dxx+342-1716==12lnx+34+x2+32x-12+C

    Ответ: dxx2+3x-1=12lnx+34+x2+32x-12+C

    Интегрирование иррациональных функций  производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y=1-x2+px+q.

    Пример 4

    Найти неопределенный интеграл dx-x2+4x+5.

    Решение

    Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.

    dx-x2+4x+5=dx-x2-4x-5==dx-x2-4x+4-4-5=dx-x-22-9=dx-(x-2)2+9

    Табличный интеграл имеет вид dxa2-x2=arcsinxa+C, тогда получаем, что dx-x2+4x+5=dx-(x-2)2+9=arcsinx-23+C

    Ответ: dx-x2+4x+5=arcsinx-23+C.

    Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y=Mx+Nx2+px+q, где имеющиеся M, N, p, q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:

    подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.

    Пример 5

    Найти первообразные функции y=x+2x2-3x+1.

    Решение

    Из условия имеем, что d(x2-3x+1)=(2x-3)dx и x+2=12(2x-3)+72, тогда (x+2)dx=12(2x-3)+72dx=12d(x2-3x+1)+72dx.

    Рассчитаем интеграл: x+2x2-3x+1dx=12d(x2-3x+1)x2-3x+1+72dxx2-3x+1==12(x2-3x+1)-12d(x2-3x+1)+72dxx-322-54==12·1-12+1·x2-3x+1-12+1+72lnx-32+x-32-54+C==x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C

    Ответ: x+2x2-3x+1dx=x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C.

    Поиск неопределенных интегралов  функции xm(a+bxn)pdx осуществляется при помощи  метода подстановки.

    Для решения необходимо ввести новые переменные:

    1. Когда число p является целым, тогда считают, что x=zN, а N является общим знаменателем для m, n.
    2. Когда m+1n является целым числом, тогда a+bxn=zN, а N является знаменателем числа p.
    3. Когда m+1n+p является целым числом, то необходим ввод переменной ax-n+b=zN, а N является знаменателем числа p.
    Пример 6

    Найти определенный интеграл 1x2x-9dx.

    Решение

    Получаем, что 1x2x-9dx=x-1·(-9+2x1)-12dx. Отсюда следует, что m=-1, n=1,p=-12, тогда m+1n=-1+11=0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида -9+2x=z2. Необходимо выразить x через z. На выходы получим, что

    -9+2x=z2x=z2+92dx=z2+92'dz=zdz-9+2x=z

    Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что

    dxx2x-9=zdzz2+92·z=2dzz2+9==23arctgz3+C=23arcctg2x-93+C

    Ответ: dxx2x-9=23arcctg2x-93+C.

    Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter