Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой

Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой

    Когда мы выясняли геометрический смысл определенного интеграла, у нас получилась формула, с помощью которой можно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a, x=b, а также непрерывной (неотрицательной или неположительной) функцией y=f(x). Иногда удобнее задавать функцию, ограничивающую фигуру, в параметрическом виде, т.е. выражать функциональную зависимость через параметр t. В рамках данного материала мы покажем, как можно найти площадь фигуры, если она ограничена параметрически заданной кривой.

    После объяснения теории и выведения формулы мы разберем несколько характерных примеров на нахождение площади таких фигур.

    Основная формула для вычисления

    Допустим, что у нас имеется криволинейная трапеция, границами которой являются прямые x=a, x=b, ось Ox и параметрически заданная кривая x=φ(t)y=ψ(t), а функции x=φ(t) и y=ψ(t) являются непрерывными на интервале α; β, α<β, x=φ(t) будет непрерывно возрастать на нем и φ(α)=a, φ(β)=b.

    Определение 1

    Чтобы вычислить площадь трапеции при таких условиях, нужно использовать формулу S(G)=αβψ(t)·φ'(t)dt.

    Мы вывели ее из формулы площади криволинейной трапеции S(G)=abf(x)dx методом подстановки x=φ(t)y=ψ(t):

    S(G)=abf(x)dx=αβψ(t)d(φ(t))=αβψ(t)·φ'(t)dt

    Определение 2

    Учитывая монотонное убывание функции x=φ(t) на интервале β; α, β<α, нужная формула принимает вид S(G)=-βαψ(t)·φ'(t)dt.

    Если функция x=φ(t) не относится к основным элементарным, то нам понадобится вспомнить основные правила возрастания и убывания функции на интервале, чтобы определить, будет ли она возрастающей или убывающей.

    Решение задач на вычисление площади фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой

    В этом пункте мы разберем несколько задач на применение формулы, выведенной выше.

    Пример 1

    Условие: найдите площадь фигуры, которую образует линия, заданная уравнениями вида x=2cos ty=3sin t.

    Решение

    У нас есть параметрически заданная линия. Графически ее можно отобразить в виде эллипса с двумя полуосями 2 и 3. См на иллюстрацию:

    Попробуем найти площадь 14 полученной фигуры, которая занимает первый квадрант. Область находится в интервале xa; b=0; 2. Далее умножим полученное значение на 4 и найдем площадь целой фигуры.

    Вот ход наших вычислений:

    x=φ(t)=2cos ty=ψ(t)=3sin tφα=a2cos α=0α=π2+πk, kZ,φβ=b2cos β=2β=2πk, kZ

    При k, равном 0, мы получим интервал β; α=0; π2. Функция x=φ(t)=2cos t на нем будет монотонно убывать (подробнее см. статью об основных элементарных функциях и их свойствах).  Значит, можно применить формулу вычисления площади и найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

    -0π23 sin t·2cos t'dt=60π2sin2t dt=30π2(1-cos(2t)dt==3·t-sin(2t)20π2=3·π2-sin2·π22-0-sin2·02=3π2

    Значит, площадь фигуры, заданной исходной кривой, будет равна S(G)=4·3π2=6π.

    Ответ: S(G)=6π

    Уточним, что при решении задачи выше можно было взять не только четверть эллипса, но и его половину – верхнюю или нижнюю. Одна половина будет расположена на интервале xa; b=-2; 2. В этом случае у нас бы получилось:

    φ(α)=a2cos α=-2α=π+πk, kZ,φ(β)=b2cos β=2β=2πk, kZ

    Таким образом, при k равном 0, мы получили β; α=0; π. Функция x=φ(t)=2cos t на этом интервале будет монотонно убывать.

    После этого вычисляем площадь половины эллипса:

    -0π3sin t·2cos t'dt=60πsin2t dt=30π(1-cos(2t)dt==3·t-sin(2t)20π=3·π-sin2·π2-0-sin2·02=3π

    Важно отметить, что можно взять только верхнюю или нижнюю часть, а правую или левую нельзя.

    Можно составить параметрическое уравнение данного эллипса, центр которого будет расположен в начале координат. Оно будет иметь вид x=a·cos ty=b·sin t. Действуя так же, как и в примере выше, получим формулу для вычисления площади эллипса Sэлипса=πab.

    Задать окружность, центр которой расположен в начале координат, можно с помощью уравнения x=R·cos ty=R·sin t, где t является параметром, а R – радиусом данной окружности. Если мы сразу воспользуемся формулой площади эллипса, то то у нас получится формула, с помощью которой можно вычислить площадь круга с радиусом R: Sкруга=πR2.

    Разберем еще одну задачу.

    Пример 2

    Условие: найдите, чему будет равна площадь фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой x=3cos3ty=2sin3t.

    Решение

    Сразу уточним, что данная кривая имеет вид вытянутой астроиды. Обычно астроида выражается с помощью уравнения вида x=a·cos3ty=a·sin3t.

    Теперь разберем подробно, как построить такую кривую. Выполним построение по отдельным точкам. Это самый распространенный метод, который применим для большинства задач. Более сложные примеры требуют проведения дифференциального исчисления, чтобы выявить параметрически заданную функцию.

    У нас x=φ(t)=3cos3t, y=ψ(t)=2sin3t.

    Данные функции являются определенными для всех действительных значений t. Для sin и cos известно, что они являются периодическими и их период составляет 2 пи. Вычислив значения функций x=φ(t)=3cos3t, y=ψ(t)=2sin3t для некоторых t=t00; 2π π8, π4, 3π8, π2,..., 15π8, получим точки x0; y0=(φ(t0); ψ(t0)).

    Составим таблицу итоговых значений:

    t0 0 π8 π4 3π8 π2 5π8 3π4 7π8 π
    x0=φ(t0) 3 2.36 1.06 0.16 0 -0.16 -1.06 -2.36 -3
    y0=ψ(t0) 0 0.11 0.70 1.57 2 1.57 0.70 0.11 0

     

    t0 9π8 5π4 11π8 3π2 13π8 7π4 15π8 2π
    x0=φ(t0) -2.36 -1.06 -0.16 0 0.16 1.06 2.36 3
    y0=ψ(t0) -0.11 -0.70 -1.57 -2 -1.57 -0.70 -0.11 0

    После этого отметим нужные точки на плоскости и соединим их одной линией.

    Теперь нам надо найти площадь той части фигуры, что находится в первой координатной четверти. Для нее xa; b=0; 3:

    φ(α)=a3cos3t=0 α=π2+πk, kZ,φ(β)=b3cos3t=3β=2πk, kZ

    Если k равен 0, то у нас получится интервал β; α=0; π2, и функция x=φ(t)=3cos3t на нем будет монотонно убывать. Теперь берем формулу площади и считаем:

    -0π22sin3t·3cos3t'dt=180π2sin4t·cos2tdt==180π2sin4t·(1-sin2t)dt=180π2sin4tdt-0π2sin6tdt

    У нас получились определенные интегралы, которые можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Первообразные для этой формулы можно найти, используя рекуррентную формулу Jn(x)=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x), где Jn(x)=sinnxdx.

    sin4tdt=-cos t·sin3t4+34sin2tdt==-cos t·sin3t4+34-cos t·sin t2+12sin0tdt==-cos t·sin3t4-3cos t·sin t8+38t+C0π2sin4tdt=-cos t·sin3t4-3cos t·sin t8+38t0π2=3π16sin6tdt=-cos t·sin5t6+56sin4tdt0π2sin6tdt=-cos t·sin5t60π2+560π2sin4tdt=56·3π16=15π96

    Мы вычислили площадь четверти фигуры. Она равна 180π2sin4tdt-0π2sin6tdt=183π16-15π96=9π16.

    Если мы умножим это значение на 4, получим площадь всей фигуры – 9π4.

    Точно таким же образом мы можем доказать, что площадь астроиды, заданной уравнениями x=a·cos3ty=a·sin3t, можно найти по формуле Sастроиды=3πa28, а площадь фигуры, которая ограничена линией x=a·cos3ty=b·sin3t, считается по формуле S=3πab8.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (10 голосов)