Интегрирование по частям

Интегрирование по частям

    Метод интегрирования по частям используется тогда, когда нужно упростить имеющийся неопределенный интеграл или свести его к табличному значению. Чаще всего он применяется в случае наличия показательных, логарифмических, прямых и обратных тригонометрических формул и их сочетаний в подынтегральном выражении.

    Основная формула, необходимая для использования этого метода, выглядит так:

    f(x)dx=u(x)d(v(x))=u(x)v(x)-v(x)d(u(x))

    Она означает, что нам нужно сначала представить выражение под интегралом в качестве произведения функции u(x) и дифференциала функции v(x). После этого мы вычисляем значение функции v(x) каким-либо методом (чаще всего применяется метод непосредственного интегрирования), а полученные выражения подставляем в указанную формулу, сводя исходный интеграл к разности u(x)v(x)-v(x)d(u(x)). Полученный в итоге интеграл также можно взять, используя любой метод интегрирования.

    Рассмотрим задачу, в которой нужно найти множество первообразных функции логарифма.

    Пример 1

    Вычислите неопределенный интеграл ln(x)dx.

    Решение

    Используем метод интегрирования по частям. Для этого берем ln(x) как функцию u(x), а остаток подынтегрального выражения – как d(v(x)). В итоге получаем, что ln(x)dx=u(x)d(v(x)), где u(x)=ln(x), d(v(x))=dx.

    Дифференциалом функции u(x) является d(u(x))-u'(x)dx=dxx, а функция v(x) может быть представлена как v(x)=d(v(x))=dx=x

    Важно: константа C при вычислении функции v(x) будет считаться равной 0.

    Подставим то, что у нас получилось, в формулу интегрирования по частям:

    ln(x)dx=u(x)v(x)-v(x)d(u(x))==ln(x)·x-x·dxx=ln(x)·x-dx=ln(x)·x-x+C1==x(ln(x)-1)+C

    где C=-C1

    Ответ: ln(x)dx=x(ln(x)-1)+C.

    Наиболее сложным в применении данного метода является выбор, какую именно часть исходного выражения под интегралом взять в качестве u(x), а какую – d(v(x)).

    Разберем несколько стандартных случаев.

    Если у нас в условии стоят интегралы вида Pn(x)·eaxdx, Pn(x)·sin(ax)dx либо Pn(x)·cos(ax)dx, где a является коэффициентом, а  Pn(x) – многочленом степени n, то в качестве функции u(x) нужно взять именно Pn(x).

    Пример 2

    Найдите множество первообразных функции f(x)=(x+1)·sin(2x).

    Решение

    Мы можем взять по частям неопределенный интеграл (x+1)·sin(2x)dx. Берем x+1 в качестве u(x) и sin(2x)dx в качестве d(v(x)), то есть d(u(x)) = d(x+1) = dx.

    Используя непосредственное интегрирование, получим:

    v(x)=sin(2x)dx=-12cos(2x)

    Подставляем в формулу интегрирования по частям:

    (x+1)·sin(2x)dx=u(x)v(x)-v(x)d(u(x))==(x+1)·-12cos(2x)--12cos(2x)dx==-12(x+1)·cos(2x)+12cos(2x)·d(x)==-12(x+1)·cos(2x)+14sin(2x)+C

    Ответ: (x+1)·sin(2x)dx=-12(x+1)·cos(2x)+14sin(2x)+C.

    Пример 3

    Вычислите неопределенный интеграл (x2+2x)exdx.

    Решение

    Берем многочлен второго порядка x2+2x в качестве u(x) и d(v(x))-exdx.

    x2+2xexdx=u(x)=x2+2x, d(v(x))=exdxd(u(x))=(2x+2)dx, v(x)=exdx=ex==u(x)v(x)-v(x)d(u(x))=(x2+2x)ex-(2x+2)exdx

    К тому, что у нас получилось, надо опять применить метод интегрирования по частям:

    (2x+2)exdx=(x2+2x)ex-2x+2exdx==u(x)=(2x+2), d(v(x))=exdxd(u(x))=2dx, v(x)=exdx=ex==(x2+2x)ex-(2x+2)ex-v(x)d(u(x))==(x2+2x)ex-(2x+2)ex-2exdx==(x2+2x-2x-2)ex+2exdx=(x2-2)ex+2ex+C=x2ex+C

    Ответ: (x2+2x)exdx=x2ex+C.

    Пример 4

    Вычислите интеграл x3cos13xdx.

    Решение

    Согласно методу интегрирования по частям, берем u(x)=x3 и d(v(x))=cos13xdx.

    В таком случае d(u(x))=3x2dx и v(x)=cos13xdx=3sin13x.

    Теперь подставим полученные выражения в формулу:

    x3cos13xdx=u(x)v(x)-v(x)d(u))==x33sin13x-3x23sin13xdx==3x3sin13x-9x2sin13xdx

    У нас получился неопределенный интеграл, который опять же нужно взять по частям:

    x3cos13xdx=3x3sin13x-9x2sin13xdx==u(x)=x2, d(v(x))=sin13xdxd(u(x))=2xdx, v(x)=sin13xdx=-3cos13x==3x3sin13x-9-3x2cos13x--3cos13x·2xdx==3x3sin13x+27x2·cos13x-54xcos13xdx

    Выполняем частичное интегрирование еще раз:

    x3cos13xdx=3x3sin13x+27x2·cos13x-54xcos13xdx==u(x)=x, d(v(x))=cos13xdxd(u(x))=dx, v(x)=cos13xdx=3sin13x==3x3sin13x+27x2cos13x-543xsin13x-3sin13xdx==3x3-162xsin13x+27x2cos13x+162sin13xdx==(3x3-162x)sin13x+27x2cos13x-486cos13x+C==(3x3-162x)sin13x+(27x2-486)cos13x+C

    Ответ: x3cos13xdx=(3x3-162x)sin13x+(27x2-486)cos13x+C.

    Если же у нас в условии стоят интегралы вида Pn(x)·ln(ax)dx, Pn(x)·arcsin(ax)dx,Pn(x)·arccos(ax)dx, Pn(x)·arctg(ax)dx, Pn(x)·arcctg(ax)dx

    то нам следует брать в качестве u(x) функции arctg(ax), arcctg(x), ln(ax), arcsin(ax), arcos(ax).

    Пример 5

    Вычислите множество первообразных функции (x+1)ln(2x).

    Решение

    Принимаем  ln(2x) в качестве u(x), а (x+1)dx – в качестве d(v(x)). Получаем:

    d(u(x))=(ln(2x))'dx=12x(2x)'dx=dxxv(x)=(x+1)dx=x22+x

    Подставим эти выражения в формулу:

    (x+1)ln(2x)dx=u(x)v(x)-v(x)d(u(x))==x22+xln2x-x22+xdxx==x22+xln(2x)-x2+1dx=x22+xln2x-12xdx-dx==x22+xln(2x)-x24-x+C

    Ответ: (x+1)ln(2x)dx=x22+xln(2x)-x24-x+C.

    Пример 6

    Вычислите неопределенный интеграл x·arcsin(2x)dx.

    Решение

    Решаем, какую часть взять за u(x), а какую – за d(v(x)). Согласно правилу, приведенному выше, в качестве первой функции нужно взять arcsin(2x), а d(v(x)) = xdx. Получим:

    d(u(x))=(arcsin(2x)'dx=2x'dx1-(2x)2=2dx1-(2x)2, v(x)=xdx=x22

    Подставляем значения в формулу:

    x·arcsin(2x)dx=u(x)v(x)-v(x)d(u(x))==x22arcsin(2x)-x22-2dx1-(2x)2=x22arcsin(2x)-x2dx1-4x2

    В итоге мы пришли к следующему равенству:

    x·arcsin(2x)dx=x22arcsin(2x)-x2dx1-4x2

    Теперь вычислим получившийся в итоге интеграл x2dx1-4x2:

    x2dx1-4x2=x2dx414-x2=12x2dx14-x2=-12-x2dx14-x2==-1214-x2-1414-x2dx=-1214-x2dx+18dx14-x2==-1214-x2dx+18arcsin(2x)

    Здесь можно применить метод интегрирования по частям и получить:

    x2dx1-4x2=-1214-x2dx+18arcsin(2x)==u(x)=14-x2, d(v(x))=dxd(u(x))=14-x2'dx214-x2=-xdx14-x2, v(x)=dx=x==-12u(x)v(x)-v(x)d(u(x))+18arcsin(2x)==-12x14-x2--x2dx14-x2+18arcsin(2x)==-12x14-x2-12x2dx14-x2+18arcsin(2x)==-12x14-x2-x2dx1-4x2+18arcsin(2x)

    Теперь наше равенство выглядит так:

    x2dx1-4x2=-12x14-x2-x2dx1-4x2+18arcsin(2x)

    Мы видим, что интеграл справа аналогичен тому, что получился слева. Переносим его в другую часть и получаем:

    2x2dx1-4x2=-12x14-x2+18arcsin(2x)+C1x2dx1-4x2=-14x14-x2+116arcsin(2x)+C2x2dx1-4x2=-18x14-x2+116arcsin(2x)+C2

    где C2=C12

    Вернемся к исходным переменным:

    x·arcsin(2x)dx=x22arcsin(2x)-x2dx1-4x2==x22arcsin(2x)--18x1-4x2+116arcsin(2x)+C2==12x2-18arcsin(2x)+18x1-4x2+C

    где С=-С2

    Ответ: x·arcsin(2x)dx=12x2-18arcsin(2x)+18x1-4x2+C.

    Если же у нас в задаче стоит интеграл вида ea·x·sin(bx)dx либо ea·x·cos(bx)dx, то в качестве u(x) может быть выбрана любая функция.

    Пример 7

    Вычислите неопределенный интеграл  ex·sin(2x)dx.

    Решение

    exsin(2x)dx=u(x)=sin(2x), d(v(x))=exdxd(u(x))=2cos(2x)dx, v(x)=exdx=ex==u(x)v(x)-v(x)d(u(x))=sin(2x)ex-ex·2cos2xdx==sin(2x)ex-2excos(2x)dx=u(x)=cos(2x), d(v(x))=exdxd(u(x))=-2sin(2x)dx, v(x)=exdx=ex==sin(2x)ex-2cos(2x)ex-(ex(-2sin(2x)dx))==sin(2x)ex=2cos(2x)ex-4exsin(2x)dx

    В итоге у нас получится:

    exsin(2x)dx=sin(2x)ex-2cos(2x)ex-4exsin(2x)dx

    Мы видим одинаковые интегралы слева и справа, значит, можем привести подобные слагаемые:

    5exsin(2x)dx=sin(2x)ex-2cos(2x)exexsin(2x)dx=15sin(2x)ex-25cos(2x)ex+C

    Ответ: exsin(2x)dx=15sin(2x)ex-25cos(2x)ex+C

    Этот способ решения является стандартным, и справа нередко получается интеграл, который идентичен исходному.

    Мы рассмотрели наиболее типовые задачи, в которых можно точно определить, какую часть выражения взять за d(v(x)), а какую за u(x). В остальных случаях это приходится определять самостоятельно.

    Также советуем вам ознакомиться с материалом, посвященным основным методам интегрирования.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter