Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры

Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры

    Статья рассказывает о понятии площадей и их свойств.  Заключительная часть статьи включит себя математическое описание квадрируемых фигур с приведением примеров решения.

    Понятие площади, свойства площади

    Для вычисления площади основываются на свойствах площадей:

    Определение 1
    • положительность;
    • аддитивность, это когда замкнутая область представлена несколькими фигурами, которые не имеют общих точек и равняются сумме площадей этих фигур.
    • инвариантность;
    • нормированность.

    Единица измерения площади – это элементарный квадрат, имеющий сторону r.

    Если рассмотреть фигуру G с ограничениями и за обозначение площади принять S(G), то при построении прямых, изобразить параллельными осям Ох и Оу, причем на расстоянии, равном rобозначению r. Заданные прямые преобразуют сетку, которая разбивает хОу на квадраты.  Буквой М обозначается фигура, которая состоящая из элементарных квадратов, которые располагаются  внутри G, причем не касаются границ, а М' – фигуру, которая состоит из квадратов и имеющая с границей G хотя бы одну общую точку, а ММ' фигуру, которая объединяет М и М' (на рисунке изображается синей и красной областями).

    Площади фигур возьмем за обозначение М и ММ', значит S(M) и S(MM') будут равны, исходя из количества составляющих квадратов. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.

    Если постоянно уменьшать одну из сторон квадрата, то можно получить сетку с множеством значений площадей S(M) и S(MM)'. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Множество SM имеет ограничения, значит, имеет тонкую грань в виде a=supSM, тогда внутреннюю площадь обозначим как G. Множество SMM' имеет ограничения снизу, значит, нижняя грань обозначается как A=infSMM', внешнюю площадь обозначим как  G.

    Фигура Gс внешней площадью равной внутренней называют квадрируемой, а число  S(G)=a=A является площадью этой фигуры. S(G)=a=A значит, что площадь квадрируемой функции является числом единственным и обладает этим свойством.

    Определение 2

    Площадь фигуры G называется предел последовательности значений SM', когда r0. Квадрируемая фигура G имеет площадь равную 0.

    Квадрируемость можно ввести иным образом, то есть рассмотреть вписанные и описанные окружности, через которые произвести вычисления.

    Определение 3

    Фигура G считается квадрируемой, когда для любого положительного числа SM' имеется входящая и включающая многоугольные фигуры P и Q, отсюда следует, что PGQ и S(Q)-S(P)<ε.

    Для примера подходит круг с вписанным и описанным 2n+1 треугольниками, где nn является натуральным числом.

    Квадрируемые фигуры

    Рассмотрим, как необходимо изображать и задавать квадрируемые фигуры. Все встречающиеся фигуры в разделах геометрии называют квадрируемыми. Любая такая фигура имеет ограничения, то есть будем находить площади ограниченных фигур. Объединение и пересечение или разность также является квадрируемой фигурой.

    Самыми распространенными видами для вычисления площадей считаются:

    • Если фигура квадрируема, тогда она имеет ограничения линиями графиков y = f(x) и x = g(y). Первый рисунок, приведенный ниже,  ограничивается сверху параболой y=-18(x-4)2+9,  а снизу кривой вида y=13x·sin x+2, справа и слева прямыми, имеющими значения х=1, х=9. Второй рисунок имеет границы  в виде линий y=13(x-6)2+1, y=ln(x-1)+7, y=-ex-8+8, y=-13x+5. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    • Фигура считается квадрируемой, если имеется возможность ограничения гладкими кривыми, то есть границы задаются при помощи параметрического уравнения вида x=ϕ(t)y=ψ(t), где функции ϕ(t) и ψ(t) являются непрерывными на интервале t1; t2, не имеют пересечений и соответствуют условию ϕ'(t0)0ψ'(t0)0 при любом значении t0t1; t2. Для примера рассмотрим фигуру, которая ограничивается осями координат и частью астроиды вида x=3cos3ty=3sin3t , где t0; π2.

    • Фигура считается квадрируемой, когда она ограничена замкнутыми кривыми, где начала и конец совпадают. Явным примером такой функции является лепесток фигуры, имеющий уравнение r=5cos5φ. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Итоги

    Площадь – это такая функция, благодаря которой она определена как класс квадрируемых фигур со свойствами аддитивности, инвариантности и нормированности.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (19 голосов)