Мгновенная и средняя скорость

Мгновенная и средняя скорость

    Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

    Определение 1

    Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью.

    Определение 2

    Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения υ=rt; υr.

    Рисунок 1. Средняя скорость сонаправлена перемещению

    Модуль средней скорости по пути равняется υ=St.

    Мгновенная скорость точки. Формулы

    Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

    Определение 3

    Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость υ при стремлении промежутка времени t к 0:

    υ=limtrt=drdt=r˙.

    Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение dr совпадает с бесконечно малым элементом траектории ds.

    Рисунок 2. Вектор мгновенной скорости υ

    Имеющееся выражение υ=limtrt=drdt=r˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

    υx=dxdt=x˙υy=dydt=y˙υz=dzdt=z˙.

    Перемещение и мгновенная скорость

    Запись модуля вектора υ примет вид:

    υ=υ=υx2+υy2+υz2=x2+y2+z2.

    Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r=rq1, q2, q3, тогда значение скорости запишется как:

    υ=drdt=i=13rqiqir=i=13rqiq˙i.

    Рисунок 3. Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

    При сферических координатах предположим, что q1=r; q2=φ; q3=θ, то получим υ, представленную в такой форме:

    υ=υrer+υφeφ+υθφθ, где υr=r˙; υφ=rφ˙sin θ; υθ=rθ˙; r˙=drdt; φ˙=dφdt; θ˙=dθdt; υ=r1+φ2sin2θ+θ2.

    Определение 4

    Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением dr=υ(t)dt

    Пример 1

    Дан закон прямолинейного движения точки x(t)=0,15t2-2t+8. Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.

    Решение

    Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:

    υ(t)=x˙(t)=0.3t-2; υ(10)=0.3×10-2=1 м/с.

    Ответ: 1 м/с.

    Пример 2

    Движение материальной точки задается уравнением x=4t-0,05t2. Вычислить момент времени tост, когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость υ.

    Решение

    Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:

    υ(t)=x˙(t)=4-0,1t.

    4-0,1t=0;tост=40 с;υ0=υ(0)=4;υ=υt=0-440-0=0,1 м/с.

    Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0,1 м/с.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (17 голосов)