Движение по окружности

Движение по окружности

    Движение по окружности - простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах. 

    Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело. 

    l=Rφ

    Если угол поворота мал, то ls.

    Проиллюстрируем сказанное:

    Движение по окружности

    Угловая скорость

    При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω, то есть скорости изменения угла поворота. 

    Определение. Угловая скорость

    Угловая скорость в данной точке траектории - предел отношения углового перемещения φ к промежутку времени t, за которое оно произошло. t0.

    ω=φt, t0.

    Единица измерения угловой скорости - радиан в секунду (радс).

    Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

    ω=vR

    Нормальное ускорение

    При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

    При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру. 

    an=vt, t0

    Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

    an=v2R=ω2R

    Докажем эти соотношения.

    Рассмотрим, как изменяется вектор v за малый промежуток времени tv=vB-vA.

    В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

    По определению ускорения:

    a=vt, t0

    Взглянем на рисунок:

    Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что OAAB=BCCD.

    Если значение угла φ мало, расстояние AB=sv·t. Принимая во внимание, что OA=R и CD=v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

    Rvt=vv или vt=v2R

    При φ0, направление вектора v=vB-vA приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что t0, получаем:

    a=an=vt; t0; an=v2R.

    При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности. 

    Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

    an=-ω2R.

    Здесь R - радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

    Тангенциальное ускорение

    В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонент - нормальное, и тангенциальное.

    Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

    aτ=vτt; t0

    Здесь vτ=v2-v1  - изменение модуля скорости за промежуток t

    Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

    Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие vx и vy.

    Если движение равномерное, величины vx и vy а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T=2πRv=2πω

     

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (16 голосов)