Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

    При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

    Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе

    Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

    Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 12, -2x+3, x+yx-2·x·y+1, 117-5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 343, 1x+x·y4+y. Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

    Определение 1

    Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

    Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 12  к 22 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием.  Приведем еще один пример: у нас есть дробь xx-y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x·x+yx-y, освободившись от иррациональности в знаменателе.

    После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

    Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби

    Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

    В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9. Вычислив 9, мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.

    Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1x+1  на x+1, мы получим дробь x+1x+1·x+1  и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x+1. Так мы преобразовали 1x+1 в x+1x+1 , избавившись от иррациональности.

    Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.

    Как преобразовать выражение в знаменателе дроби

    Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.

    Пример 1

    Условие: освободите дробь 12·18+50 от иррациональности в знаменателе.

    Решение

    Для начала раскроем скобки и получим выражение 12·18+2·50. Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 12·18+2·50. Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 136+100. Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 16+10, равная 116. На этом преобразования можно закончить.

    Запишем ход всего решения без комментариев:

    12·18+50=12·18+2·50==12·18+2·50=136+100=16+10=116

    Ответ: 12·18+50=116.

    Пример 2

    Условие: дана дробь 7-x(x+1)2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

    Решение

    Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение Ann  на |A| на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7-xx+12=7-xx+1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.

    Ответ: 7-xx+12=7-xx+1.

    Избавление от иррациональности методом умножения на корень

    Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A. Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0. После умножения в знаменателе окажется выражение вида A·A, которое легко избавить от корней: A·A=A2=A. Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.

    Пример 3

    Условие: даны дроби x3 и -1x2+y-4. Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.

    Решение

    Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3. Получим следующее:

    x3=x·33·3=x·332=x·33

    Во втором случае нам надо выполнить умножение на x2+y-4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:

    -1x2+y-4=-1·x2+y-4x2+y-4·x2+y-4==-x2+y-4x2+y-42=-x2+y-4x2+y-4

    Ответ: x3=x·33  и -1x2+y-4=-x2+y-4x2+y-4 .

    Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида Anm или Amn (при условии натуральных m и n), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в Ann·k  или An·kn (при натуральном k). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.

    Пример 4

    Условие: даны дроби 7635 и xx2+1415. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

    Решение

    Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5, нам надо выполнить умножение на 625. Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 625:

    7635=7·625635·625=7·625635·62=7·625655==7·6256=7·3656

    Во втором случае нам потребуется число, большее 15, которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16. Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x2+14. Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:

    xx2+1415=x·x2+14x2+1415·x2+14==x·x2+14x2+1416=x·x2+14x2+1444=x·x2+14x2+14

    Ответ: 7635=7·3656 и xx2+1415=x·x2+14x2+14.

    Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение

    Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a+b, a-b, a+b, a-b, a+b, a-b. В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.

    Для первого выражения a+b сопряженным будет a-b, для второго a-b – a+b . Для a+b  – a-b, для a-b – a+b, для a+b – a-b, а для a-b  – a+b. Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.

    Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a-b·a+b . Оно может быть заменено разностью квадратов a-b·a+b=a2-b2, после чего мы переходим к выражению ab, лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.

    Пример 5

    Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 37-3 и x-5-2.

    Решение 

    В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7+3. Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:

    37-3=3·7+37-3·7+3=3·7+372-32==3·7+37-9=3·7+3-2=-3·7+32

    Во втором случае нам понадобится выражение -5+2, которое является сопряженным выражению -5-2. Умножим на него числитель и знаменатель и получим:

    x-5-2=x·-5+2-5-2·-5+2==x·-5+2-52-22=x·-5+25-2=x·2-53

    Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:

    x-5-2=-x5+2=-x·5-25+2·5-2==-x·5-252-22=-x·5-25-2=-x·5-23==x·2-53

    Ответ: 37-3=-3·7+32  и x-5-2=x·2-53.

    Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.

    Пример 6

    Условие: дана дробь xx+4. Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.

    Решение

    Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x. Она определена условиями x0 и x+40. Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x0.

    Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x-4. Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x-40 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:

    xx+4=x·x-4x+4·x-4==x·x-4x2-42=x·x-4x-16

    Если x будет равен 16, то мы получим:

    xx+4=1616+4=164+4=2

    Следовательно, xx+4=x·x-4x-16 при всех значениях x, принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16. При x=16 получим xx+4=2.

    Ответ: xx+4=x·x-4x-16, x[0, 16)(16, +)2, x=16.

    Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов

    В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a3b3=(ab)·(a2+a·b+b2). Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A3-B3, A32+A3·B3+B32. и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A32+A3·B3+B32  или разность A3-B3.  Точно также можно применить и формулу суммы a3+b3=(а)·(a2a·b+b2).

    Пример 7

    Условие: преобразуйте дроби 173-23  и 34-2·x3+x23 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

    Решение

    Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 73 и 23, поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:

    173-23=1·732+73·23+23273-23·732+73·23+232==732+73·23+232733-233=723+7·23+2237-2==493+143+435

    Во второй дроби представим знаменатель как 22-2·x3+x32. В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2+x3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2+x30, равносильное x3-2 и x8:

    34-2·x3+x23=322-2·x3+x32==3·2+x322-2·x3+x32·2+x3=6+3·x323+x33==6+3·x38+x

    Подставим в дробь -8 и найдем значение:

    34-2·83+823=34-2·2+4=34

    Подведем итоги. При всех x, входящих в область значений исходной дроби (множество R), за исключением -8, мы получим 34-2·x3+x23=6+3·x38+x. Если x=8, то 34-2·x3+x23=34.

    Ответ: 34-2·x3+x23=6+3·x38+x, x834, x=-8.

    Последовательное применение различных способов преобразования

    Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.

    Пример N

    Условие: преобразуйте 574-24, чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.

    Решение

    Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 74+24 с ненулевым значением. Получим следующее:

    574-24=5·74+2474-24·74+24==5·74+24742-242=5·74+247-2

    А теперь применим тот же способ еще раз:

    5·74+247-2=5·74+24·7+27-2·7+2==5·74+24·7+272-22=5·74+74·7+27-2==5·74+24·7+25=74+24·7+2

    Ответ: 574-24=74+24·7+2.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (15 голосов)