Разложение дроби на простейшие: примеры, решение

Разложение дроби на простейшие

    Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно  рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.

    Простые дроби имеют название  элементарных дробей.

    Типы дробей

    Дроби различают:

    1.  Ax-a;
    2. A(x-a)n;
    3. Mx+Nx2+px+q;
    4. Mx+N(x2+px+q)n.

    AMNapq из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.

    При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.

    Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида 2x3+3x3+xdx.  После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что

    2x3+3x3+xdx=2+2x-3x+2x2+1dx==2dx+3xdx-3x+2x2+1dx==2x+3lnx-32d(x2+1)x2+1-2dxx2+1==2x+3lnx-32lnx2+1-2arctan(x)+C

    Пример 1

    Произвести разложение дроби вида -2x+3x3+x.

    Решение

    Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.

    Применим деление углом. Получаем, что

    Отсюда следует, что дробь примет вид

    2x3+3x3+x=2+-2x+3x3+x

    Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен -2x+3x3+x.

    Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

    Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:

    • Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x3+x=xx2+1 для упрощения выносят х за скобки.
    • Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

    Рассмотрим на нескольких примерах:

    Пример 2

    Когда в знаменателе имеется  выражение вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа Ax-a+Bx-b+Cx-c+Dx-d, где abc и d являются числами, ABC и D – неопределенными коэффициентами.

    Пример 3

    Когда знаменатель имеет выражение (x-a)2(x-b)4(x-c)3, количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:

    A2x-a2+A1x-a+B4x-b4+B3x-b3+B2x-b2+B1x-b++C3x-c3+C2x-c2+C1x-c

    где имеющиеся abc являются числами, а A1, A2, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3 - неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.

    Пример 4

    Когда знаменатель имеет вид типа x2+px+qx2+rx+s, тогда количество квадратичных функций значения не имеет,  а дробь принимает вид третьего типа Px+Qx2+px+q+Rx+Sx2+rx+s,где имеющиеся pqr и s являются числами, а PQR и S – определенными коэффициентами.

    Пример 5

    Когда знаменатель имеет вид x2+px+q4x2+rx+s2, количество множителей значения не имеет также , как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида

    P4x+Q4(x2+px+q)4+P3x+Q3(x2+px+q)3+P2x+Q2(x2+px+q)2+P1x+Q1x2+px+q++R2x+S2(x2+rx+s)2+R1x+S1x2+rx+s

    где имеющиеся pqr и s являются числами, а P1,P2,P3,P4,R1,R2,S1,S2 - неопределенными коэффициентами.

    Пример 6

    Когда имеется знаменатель вида (x-a)(x-b)3(x2+px+q)(x2+rx+s)2, тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа

    Ax-a+B3x-b3+В2x-b2+В1x-b++Px+Qx2+px+q+R2x+S2x2+rx+s2+R1x+S1x2+rx+s

    Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается  в сумму третьим типом вида 2x-3x3+x=2x-3x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1, где AB и C являются неопределенными коэффициентами.

    Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что

    2x-3x3+x=2x-3x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1==A(x2+1)+(Bx+C)xx(x2+1)=Ax2+A+Bx2+Cxx(x2+1)==x2(A+B)+xC+Ax(x2+1)

    Когда х отличен от 0, тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2x-3=x2(A+B)+xC+A. Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.

    • Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
      A+B=0C=2A=-3
    • Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A+B=0C=2A=-3A=-3B=3C=2
    • Производим запись ответа:
      2x3+3x3+x=2-2x-3x3+x=2-2x-3x(x2+1)==2-Ax+Bx+Cx2+1=2--3x+3x+2x2+1=2+3x-3x+2x2+1

    Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид

    2+3x-3x+2x2+1=2x(x2+1)-(3x+2)xx(x2+1)=2x3+3x3+x

    Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.

    Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:

    x-ax-bx-cx-d.

    Пример 7

    Произвести разложение дроби 2x2-x-7x3-5x2+6x.

    Решение

    По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти  к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что

    x3-5x2+6x=x(x2-5x+6)

    Квадратный трехчлен x2-5x+6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:

    x1+x2=5x1·x2=6x1=3x2=2

    Запись трехчлена может быть в виде x2-5x+6=(x-3)(x-2).

    Тогда изменится знаменатель:x2-5x2+6x=x(x2-5x+6)=x(x-3)(x-2)

    Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:

    2x2-x-7x3-5x2+6x=2x2-x-7x(x-3)(x-2)=Ax+Bx-3+Cx-2

    Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:

    2x2-x-7x3-5x2+6x=2x2-x-7x(x-3)(x-2)=Ax+Bx-3+Cx-2==A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)x(x-3)(x-2)

    После упрощения придем к неравенству вида

    2x2-x-7x(x-3)(x-2)=A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)x(x-3)(x-2)2x2-x-7=A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)

    Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х=0х=2 и х=3.

    Если х=0, получим:

    2·02-0-7=A(0-3)(0-2)+B·0·(0-2)+C·0·(0-3)-7=6AA=-76

    Если x=2, тогда

    2·22-2-7=A(2-3)(2-2)+B·2·(2-2)+C·2·(2-3)-1=-2CC=12

    Если x=3, тогда

    2·32-3-7=A(3-3)(3-2)+B·3·(3-2)+C·3·(3-3)8=3BB=83

    Ответ: 2x2-x-7x3-5x2+6x=Ax+Bx-3+Cx-2=-76·1x+83·1x-3+12·1x-2

    Метод коэффициентов и метод частных значений  отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.

    Пример 8

    Произвести разложение выражения x4+3x3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3 на простейшие дроби.

    Решение

    По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид

    x4+3x3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C(x-3)3+C(x-3)2+Cx-3

    Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что

    x4+3x3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C(x-3)3+C(x-3)2+Cx-3==A(x+1)(x-3)3+B(x-1)(x-3)3(x-1)(x+1)(x-3)3++C3(x-1)(x+1)+C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2(x-1)(x+1)(x-3)3

    Приравняем числители и получим, что

    x4+3x3+2x+11==A(x+1)(x-3)3+B(x-1)(x-3)3++C3(x-1)(x+1)+C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2

    Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х=1, х=-1 и х=3. Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:

    -5=-16AA=516

    Если х=-1

    -15=128BB=-15128

    Если х=3

    157=8C3C3=1578

    Отсюда следует, что нужно найти значения C1 и C3.

    Поэтому подставим полученный значения  в числитель, тогда

    x4+3x3+2x-11==516(x+1)(x-3)3-15128(x-1)(x-3)3+1578(x-1)(x+1)++C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2

    Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида

    x4+3x3+2x-11=x425128+C1+x3-8564+C2-6C1++x267332-3C2+8C1+x40564-C2+6C1+3C2-9C1-3997128

    Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C1 и C3.  Теперь необходимо решить систему:

    25128+C1=1-8564+C2-6C1=367332-3C2+8C1=040564-C2+6C1=23C2-9C1-3997128=11

    Первое уравнение дает возможность найти C1=103128, а второе C2=3+8564+6C1=3+8564+6·103128=29332.

    Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:

    x4+3x3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C3x-33+C2x-32+C1x-3==5161x-1-151281x+1+1578·1x-33+293321x-32+1031281x-3

    Примечание

    При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter