Преобразование выражений с дробями: примеры, решения

Преобразование выражений с дробями: примеры, решения

    Давайте рассмотрим основные преобразования, которые могут применимы для выражений с дробями.

    Выражения с дробями и дробные выражения

    Судя по заявленной в заголовке статьи теме, речь пойдет о преобразовании выражений с переменными числовых выражений, запись которых содержит хотя бы одну дробь.

    Отдельные дроби в данном материале мы рассматривать не будем, так как уделили им достаточно внимания в статье «Преобразование дробей: общий взгляд». Остановимся лишь на разнице смысла словосочетаний «дробные выражения» и « выражения с дробями».

    Выражение с дробями – это более общее понятие по сравнению с «дробным выражением». Далеко не любое выражение, содержащее дробь, является дробным выражением. Так, например, выражение x2-1 является целым рациональным числом.

    Основные тождественные преобразования выражений с дробями: перестановка местами слагаемых и множителей, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. Все эти приемы мы разбирали для выражений различных видов.

    Важно при проведении преобразований соблюдать принятый порядок действий.

    Пример 1

    Упростите выражение 3·x+1x2-4-1-2·x+1x2-4+3.

    Решение

    Раскроем скобки: 3·x+1x2-4-3-2·x+1x2-4+3. Мы получили выражение, в котором присутствуют подобные слогаемые 3·x+1x2-4 и -2·x+1x2-4, а также 3 и 3.  Методом приведения получим дробь x+1x2-4.

    Решение можно записать кратко:
    3·x+1x2-4-1-2·x+1x2-4+3==3·x+1x2-4-3-2·x+1x2-4+3=x+1x2-4

    Ответ: 3·x+1x2-4-1-2·x+1x2-4+3=x+1x2-4.

     

    Пример 2

    Представьте выражение 1x2+6·1x+9 в виде квадрата суммы.

    Решение

    Мы можем записать число 6 как 2·3, а 9 как 32. Тогда исходное выражение примет следующий вид:

    1x2+2·3·1x+32

    Теперь используем формулу сокращенного умножения квадрат суммы: 1x2+2·3·1x+32=1x+32.

    Ответ: 1x2+6·1x+9=1x+32.

    Работа с отдельными дробями

    Предлагаем вам обсудить преобразование отдельных дробей, которые входят в запись выражения. Это необходимо  для того, чтобы в следующем пункте мы могли перейти к выполнению действий с дробями, которые входят в исходное выражение.

    С дробями, являющимися частью выражения, можно выполнять все те преобразования, которые мы подробно описали в материале «Преобразование дробей». Любое преобразование должно давать нам тождественную дробь, а исходное выражение при этом должно давать тождественно равное выражение.

    Пример 3

    Преобразовать выражение с дробью x+1+(x-1)2-1x к более простому виду.

    Решение

    Для начала поработаем с дробью (x-1)2-1x: раскроем скобки, приведем подобные слагаемые в числителе: (x-1)2-1x=x2-2·x+1-1x=x2-2·xx

    Вынесем общий множитель x за скобки в числителе и произведем сокращение алгебраической дроби:  x2-2·xx=x·(x-2)x=x-2.

    Подставим полученный результат вместо дроби в выражение из условия задачи, получим:

    x+1+x-2.

    Ответ: x+1+(x-1)2-1x=x+1+x-2.

    Выполнение действий с дробями

    Действия с дробями проводятся в соответствии с общепринятым порядком. Стоит учитывать тот факт, что любое число может быть представлено в виде дроби со знаменателем 1.

    Пример 4

    Упростите выражение x+2·x-1x+2·x+12x.

    Решение

    Существует несколько вариантов решения данной задачи. В контексте темы мы решим ее методом выполнения действий с дробями:

    x+2·x-1x+2·x+12x==x+2·x-x+12x+2·x

    Полученное произведение x+2·x запишем в виде дроби для того, чтобы нам проще был провести вычитание дробей:

    x+2·x-x+12x+2·x==x+2·x1-x+12x+2·x==x+2·x·x+2·xx+2·x-x+12x+2·x==x+2·xx+2·x-x+12x+2·x==x+2·x-x+12x+2·x=x2+2·x-x2+2·x+1x+2·x==-1x+2·x=-1x+2·x

    Для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, можно выполнить еще одно действие:

    -1x+2·x=-x+2·xx2+2·x

    Ответ: x+2·x-1x+2·x+12x=-x+2·xx2+2·x.

    Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.п.

    Выражения с дробями могут содержать логарифмы, корни, тригонометрические функции, степени с различными показателями. Для их преобразования могут применяться соответствующие свойства.

    Применимо к дробям, стоит выделить свойство логарифма разности  logcab=logca-logcb, свойство корня из дроби abn=anbn, свойство модуля частного ab=ab и свойство дроби в степени abp=apbp.

    Поясним написанное выше на примерах.

    Выражение 4x6-2·2x3+1 можно преобразовать, заменив первую дробь степенью 2x32 на базе свойств степени. Это позволяет нам представить исходное выражение в виде квадрата разности.

    В логарифмическом выражении  lnx+3x+ln x логарифм дроби можно заменить разностью логарифмов. Далее приводим подобные слагаемые и таким образом упрощаем выражение: lnx+3x+ln x=lnx+3-ln x+ln x=lnx+3.

    В тригонометрических выражениям отношение синуса к косинусу можно заменить тангенсом одного и того же угла.

    Избавиться от аргумента-дроби можно при переходе от половинного аргумента к целому с использованием соответствующих формул. Например, 2·sin2x-32=1-cos(x-3).

    Как видите, тема эта очень объемная. Для ее подробного изучения мы рекомендуем обратиться к материалам, изложенным в разделах, посвященных преобразованию тригонометрических выражений, иррациональных выражений с использованием свойств корня, выражений с использованием свойств степеней, логарифмических выражений с использованием свойств логарифмов.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (19 голосов)