Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

    Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

    Что представляют собой степенные выражения?

    В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

    Определение 1

    Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

    Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

    Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (0,1)4, 2233, 3·a2a+a2, x31, (a2)3. А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+523,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.

    Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.

    В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx5·xlgx.

    С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

    Основные виды преобразований степенных выражений

    В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

    Пример 1

    Вычислите значение степенного выражения 23·(4212).

    Решение

    Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(4212)=23·(1612)=23·4.

    Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

    Ответ: 23·(4212)=32.

    Пример 2

    Упростите выражение со степенями 3·a4·b71+2·a4·b7.

    Решение

    Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b71+2·a4·b7=5·a4·b71.

    Ответ: 3·a4·b71+2·a4·b7=5·a4·b71.

    Пример 3

    Представьте выражение со степенями 9-b3·π-12 в виде произведения.

    Решение

    Представим число 9 как степень 32 и применим формулу сокращенного умножения:

    9-b3·π-12=32-b3·π-12==3-b3·π-13+b3·π-1

    Ответ: 9-b3·π-12=3-b3·π-13+b3·π-1.

    А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений. 

    Работа с основанием и показателем степени

    Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2+0,3·7)53,7 и (a·(a+1)a2)2·(x+1). Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

    Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

    Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2+0,3·7)53,7 можно выполнить действия для перехода к степени 4,11,3. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a·(a+1)a2)2·(x+1) и получить степенное выражение более простого вида a2·(x+1).

    Использование свойств степеней

    Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s - произвольные действительные числа:

    Определение 2
    • ar·as=ar+s;
    • ar:as=ars;
    • (a·b)r=ar·br;
    • (a:b)r=ar:br;
    • (ar)s=ar·s.

    В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство am·an=am+n, где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a, как положительных, так и отрицательных, а также для a=0.

    Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

    При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

    Пример 4

    Представьте выражение a2,5·(a2)3:a5,5 в виде степени с основанием a.

    Решение

    Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a2)3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

    a2,5·a6:a5,5= a2,56:a5,5=a3,5:a5,5= a3,5(5,5)=a2.

    Ответ: a2,5·(a2)3:a5,5=a2.

    Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

    Пример 5

    Найти значение степенного выражения 313·713·2123.

    Решение

    Если мы применим равенство (a·b)r=ar·br, справа налево, то получим произведение вида 3·713·2123 и дальше 2113·2123. Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 2113·2123=2113+23=211=21.

    Есть еще один способ провести преобразования:

    313·713·2123=313·713·(3·7)23=313·713·323·723==313·323·713·723=313+23·713+23=31·71=21

    Ответ: 313·713·2123=31·71=21

     

    Пример 6

    Дано степенное выражение a1,5a0,56, введите новую переменную t=a0,5.

    Решение

    Представим степень a1,5 как a0,5·3 . Используем свойство степени в степени (ar)s=ar·s справа налево и получим (a0,5)3: a1,5a0,56=(a0,5)3a0,56. В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t=a0,5: получаем t3t6.

    Ответ: t3t6.

    Преобразование дробей, содержащих степени

    Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

    Пример 7

    Упростить степенное выражение 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2.

    Решение

    Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

    3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=3·523·513-3·523·5-23-2-x2==3·523+13-3·523+-23-2-x2=3·51-3·50-2-x2

    Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12-2-x2=-122+x2

    Ответ:  3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=-122+x2

    Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

    Пример 8

     

    Приведите дроби к новому знаменателю: а) a+1a0,7 к знаменателю a, б) 1x23-2·x13·y16+4·y13 к знаменателю x+8·y12.

    Решение

    а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a0,7·a0,3=a0,7+0,3=a, следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a0,3. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a0,3 не обращается в нуль.

    Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a0,3:

    a+1a0,7=a+1·a0,3a0,7·a0,3=a+1·a0,3a

    б) Обратим внимание на знаменатель:

    x23-2·x13·y16+4·y13==x132-x13·2·y16+2·y162

    Умножим это выражение на x13+2·y16, получим сумму кубов x13 и 2·y16, т.е. x+8·y12. Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.
     

    Так мы нашли дополнительный множитель x13+2·y16. На области допустимых значений переменных x и y выражение x13+2·y16 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
    1x23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x13+2·y16x23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x133+2·y163=x13+2·y16x+8·y12

    Ответ: а) a+1a0,7=a+1·a0,3a , б) 1x23-2·x13·y16+4·y13=x13+2·y16x+8·y12.  

    Пример 9

    Сократите дробь: а) 30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53, б) a14-b14a12-b12.

    Решение

    а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15. Также мы можем произвести сокращение на x0,5+1 и на x+2·x113-53.

    Получаем:

    30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1)

    б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

    a14-b14a12-b12=a14-b14a142-b122==a14-b14a14+b14·a14-b14=1a14+b14

    Ответ:  а)30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1), б) a14-b14a12-b12=1a14+b14.

    К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

    Пример 10

    Выполните действия x12+1x12-1-x12-1x12+1·1x12.

    Решение

    Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

    x12-1·x12+1

    Вычтем числители:

    x12+1x12-1-x12-1x12+1·1x12==x12+1·x12+1x12-1·x12+1-x12-1·x12-1x12+1·x12-1·1x12==x12+12-x12-12x12-1·x12+1·1x12==x122+2·x12+1-x122-2·x12+1x12-1·x12+1·1x12==4·x12x12-1·x12+1·1x12

    Теперь умножаем дроби:

    4·x12x12-1·x12+1·1x12==4·x12x12-1·x12+1·x12

    Произведем сокращение на степень x12, получим 4x12-1·x12+1.

    Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4x12-1·x12+1=4x122-12=4x-1.

    Ответ: x12+1x12-1-x12-1x12+1·1x12=4x-1

    Пример 11

    Упростите степенное выражение x34·x2,7+12x-58·x2,7+13.
    Решение

    Мы можем произвести сокращение дроби на (x2,7+1)2. Получаем дробь x34x-58·x2,7+1.

    Продолжим преобразования степеней икса x34x-58·1x2,7+1. Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:  x34x-58·1x2,7+1=x34--58·1x2,7+1=x118·1x2,7+1.

    Переходим от последнего произведения к дроби x138x2,7+1.

    Ответ: x34·x2,7+12x-58·x2,7+13=x138x2,7+1.

    Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x+1)-0,23·x-1 можно заменить  на x3·(x+1)0,2.

    Преобразование выражений с корнями и степенями

    В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

    Пример 12

    Представьте выражение x19·x·x36 в виде степени.

    Решение

    Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами  x0  и x·x30 ,  которые задают множество [0, +).

    На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням: 

    x19·x·x36=x19·x·x1316

    Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

    x19·x·x1316=x19·x16·x1316=x19·x16·x1·13·6==x19·x16·x118=x19+16+118=x13

    Ответ: x19·x·x36=x13.

    Преобразование степеней с переменными в показателе

    Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 52·x+13·5x·7x14·72·x1=0.

    Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

    52·x·513·5x·7x14·72·x·71=0, 5·52·x3·5x·7x2·72·x=0.

    Теперь поделим обе части равенства на 72·x. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

    5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=072·x,5·52·x72·x-3·5x·7x72·x-2·72·x72·x=0,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=0

    Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=0.

    Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2=0 , которое равносильно 5·57x2-3·57x-2=0.

    Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t23·t2=0.

    Преобразование выражений со степенями и логарифмами

    Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 141-5·log23 или log3279+5(1-log35)·log53. Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (12 голосов)