Подобные слагаемые: их приведение и примеры

Подобные слагаемые, их приведение, примеры

    Приведение подобных слагаемых является одним из наиболее употребимых тождественных преобразований. В этом разделе мы дадим определение термина, разберем, что обозначает словосочетание «приведение подобных слагаемых», рассмотрим основные правила выполнения действий и наиболее распространенные типы задач.

    Определение и примеры подобных слагаемых

    В большинстве учебных пособий тема подобных слагаемых разбирается после знакомства с буквенными выражениями, когда появляется необходимость проводить с ними различные преобразования.

    Определение 1

    Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

    Слагаемые – это, как известно, составные элементы суммы. Это значит, что они могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.

    Приведем примеры.

    Рассмотрим сумму двух слагаемых 3·a+2·a. В этой сумме слагаемые имеют одну и ту же  буквенную часть, которая представлена буквой a. Согласно определению, эти два слагаемых являются подобными. Числа 2 и 3 в данном случае являются числовыми коэффициентами.

    Рассмотрим сумму 5·x·y3·z+12·x·y3·z+1. Здесь подобными являются слагаемые 5·x·y3·z и 12·x·y3·z, которые имеют одинаковую буквенную часть x·y3·z. Следует обратить внимание на то, что в буквенной части присутствует степень y3. Наличие степени не нарушает данное выше определение буквенной части в связи с тем, что y3 по сути является произведением y·y·y.

    Числовые коэффициенты 1 и 1 в случае подобных слагаемых часто не записываются, но подразумеваются. К примеру, сумма 3·z5+z5z5 состоит из трех слагаемых 3·z5z5 и z5, которые являются подобными. Здесь z5 – это одинаковая буквенная часть, 3, 1 и -1 – коэффициенты.

    Если слагаемые в буквенном выражении не имеют буквенной части, то они также являются подобными. Например, сумма 5+7·x4+2·x+y представлена 4 подобными слагаемыми, два из которых (5 и -4) не имеют буквенной части.

    Буквенная часть может быть представлена не только произведением букв, но также и произвольным буквенным выражением. Например:

    3·5·a-2·5·a+12·5·a.

    Здесь общей буквенной частью подобных слагаемых является выражение 5·a.

    По аналогии можно выделить подобные слагаемые в выражении 4·(x2+x1/x)0,5·(x2+x1/x)1. Это будут слагаемые с одинаковой буквенной частью (x2+x1/x).

    Обобщим изложенные выше утверждения и дадим еще одно определение подобных слагаемых.

    Определение 2

    Подобные слагаемые – это слагаемые в буквенном выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, которые не имеют буквенной части, если под буквенной частью понимать любое буквенное выражение.

    Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.

    Возьмем для примера выражение 2·x·y+3·y·x и рассмотрим такой нюанс: являются ли слагаемые 2·x·y и 3·y·x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x·y и y·x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.

    Однако, если использовать переместительное свойство умножения, то можно изменить порядок множителей, не влияя на результат умножения. Это позволяет нам переписать выражение 2·x·y+3·y·x можно переписать в виде 2·x·y+3·x·y. Тогда слагаемые будут подобны.

    К слову, в некоторых источниках при нестрогом отношении к вопросу, слагаемые из примера могут называться подобными. Но лучше не допускать таких неточностей в трактовках.

    Приведение подобных слагаемых, правило, примеры

    Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:

    • перестановка слагаемых таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом;
    • вынесение за скобки буквенной части;
    • вычисление значения числового выражения, которое осталось в скобках.

    Приведем пример таких вычислений.

    Пример 1

    Возьмем выражение 3·x·y+1+5·x·y. Выделим подобные слагаемые и переставим их друг к другу: 3·x·y+1+5·x·y=3·x·y+5·x·y+1.

    Теперь вынесем за скобки буквенную часть: x·y·(3+5)+1.

    Нам осталось вычислить значение выражения, которое записано в скобках: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1.

    Обычно числовой коэффициент записывается перед буквенной частью: x·y·8+1=8·x·y+1.

    Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правило для того, чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их коэффициенты, а затем умножить полученный результат на буквенную часть при ее наличии.

    Запишем более короткий вариант решения выражения, рассмотренного выше. В выражении 3·x·y+1+5·x·y  коэффициентами подобных слагаемых 3·x·y и 5·x·y  являются числа 3 и 5. Сумма коэффициентов равна 8. Умножим ее на буквенную часть и получим: 3·x·y+1+5·x·y=8·x·y+1.

    Пример 2

    Приведите подобные слагаемые: 0,5·x+12+3,5·x14.

    Решение

    Начнем с приведения подобных слагаемых 0,5·x и 3,5·x. Используя правило, сложим их коэффициенты 0,5+3,5=4 . Умножим буквенную часть на полученный результат 4·x.

    Теперь займемся приведением подобных слагаемых без буквенной части: 12+(-14)=12-14=14. Вспомним правило сложения чисел с разными знаками и выполним вычитание обыкновенных дробей. Получим: 12+(-14)=12-14=14

    Итог: 0,5·x+12+3,5·x14=4·x+14.

    Приведем краткую запись решения: 0,5·x+12+3,5·x14=(0,5·x+3,5·x)+(1214)=4·x+14.

    Ответ: 0,5·x+12+3,5·x14=4·x+14.

    Особо хочется отметить тот факт, что приведение подобных слагаемых базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое можно выразить равенством a·(b+c)=a·b+a·c. Когда мы выполняем приведение подобных слагаемых, мы используем это равенство справа налево, т.е. в виде a·b+a·c=a·(b+c).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter