Раскрытие скобок: правила, примеры, решения
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

    Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

    Что называется раскрытием скобок?

    Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

    Определение 1

    Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

    • знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
    • произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

    Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(3)(7) к 53+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

    Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

    Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

    Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3(57) мы получаем выражение 35+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3(57)=35+7.

    Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5(3(21))=5(32+1)=53+21 или 5(3(21))=53+(21)=53+21.

    Правила раскрытия скобок, примеры

    Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

    У одиночных чисел в скобках

    Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (4) и 3+(4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

    Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(5) эквивалентно выражению 35, так как +(5) заменяется на 5.

    Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

    Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(a) мы заменяем на a,  (a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (a) остается a.

    Приведем примеры:  (5) можно записать как  5(3)+0,5 принимает вид 3+0,5,  4+(3) превращается в 43, а (4)(3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как (4) и (3) заменяется на +4 и +3.

    Следует понимать, что записать выражение 3·(5) как 3·5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

    Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

    Согласно правилу разность ab равна a+(b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(b))+b=a+((b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(b)  - это разность ab.

    Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что (a)=a, a(b)=a+b.

    Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть ((((5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: ((((5))))=(((5)))=((5))=(5)=5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: ((((5))))=(((5)))=((5))=(5)=5.

    Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

    К примеру, после раскрытия скобок выражение (2·x)(x2)+(1x)(2·x·y2:z) примет вид 2·xx21x2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что (2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x(x2)=x2+(1x)=1x и (2·x·y2:z)=2·x·y2:z.

    В произведениях двух чисел

    Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

    Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел a и b вида (a)·(b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (a)·b и a·(b) заменить на (a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

    Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

    Рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1

    Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

    А если мы возьмем частное отрицательных чисел (4):(2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

    На месте отрицательных чисел a и b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

    Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(-ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(-ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

    Выражение (3)·2 можно преобразовать в выражение (3·2). После этого можно раскрыть скобки: 3·2.

     23·-45=-23·45=-23·45

     Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (5):2=(5:2)=5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

    Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

    -1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

    и 

    sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

    В произведениях трех и большего количества чисел

    Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

    Пример 2

    Для примера, возьмем выражение 5·(3)·(2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

    В произведении (2,5)·(3):(2)·4:(1,25):(1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (2,5)·(3):(2)·4:(1,25):(1)=(2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

    Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (1)·a.

    Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные 1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно 1, что позволяет нам использовать знак минус.

    Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

    -23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

    Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

     x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

    Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

    Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

    Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

    Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

    Пример 3

    Для примера приведем выражение (123,5)7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (123,5)7=+123,57. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +123,57=123,57.

    Пример 4

    Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3x2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3x2+1-x2-4+1x==x+2a-3x2+1-x2-4+1x

    Вот еще один пример раскрытия скобок:

    Пример 5

    2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

    Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

    Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

    Пример 6

    К примеру:

    --12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

    Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

    --x+x3-3--2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

    получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

    Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

    Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±±an)·b=(a1·b±a2·b±±an·b) или b·( a1±a2±±an)=(b·a1±b·a2±±b·an), где a1, a2, , an и b – некоторые числа или выражения.

    Пример 7

    Например, проведем раскрытие скобок в выражении (37)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (37)·2=(3·27·2). Получаем 3·27·2.

    Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3x2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

    Умножение скобки на скобку

    Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

    Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

    Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

    Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

    Формула будет иметь вид:

    (a1+a2+...+am)·(b1+b2+...+bn)==a1b1+a1b2+...+a1bn++a2b1+a2b2+...+a2bn++...++amb1+amb1+...ambn

    Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

    Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1x)·(3·x·y2·x·y3).

    Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(x))·(3·x·y+(2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(x))·(3·x·y+(2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(2·x·y3)+(x)·3·x·y+(x)·(2·x·y3))

    Раскроем скобки: 1·3·x·y1·2·x·y3x·3·x·y+x·2·x·y3.

    Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

    При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

    В выражении содержится сразу три множителя (2+4)3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

    В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

    Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

    Скобка в натуральной степени

    Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

    Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

    Разберем еще один пример:

    Пример 8

    1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1x2·2+2·1x·2+2·2·2

    Деление скобки на число и скобки на скобку

    Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

    Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

    Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

    Вот еще один пример деления на скобку:

    Пример 9

    1x+x+1:(x+2) .

    Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

    Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

    Порядок раскрытия скобок

    Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

    Порядок выполнения действий:

    • первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
    • на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
    • заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

    Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (5)+3·(2):(4)6·(7). Намнем преобразование с выражений 3·(2):(4) и 6·(7), которые должны принять вид (3·2:4) и (6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (5)+3·(2):(4)6·(7)=(5)+(3·2:4)(6·7). Раскрываем скобки:5+3·2:4+6·7.

    Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (15 голосов)