Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

    Статья раскрывает смысл иррациональных выражений  и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.

    Что такое иррациональные выражения?

    При знакомстве с корнем  в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.

    Определение 1

    Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.

    Основываясь на данном определении, мы имеем, что x-1, 83·36-12·3, 7-4·3·(2+3), 4·a2d5:d92·a35 - это все выражения иррационального типа.

    При рассмотрении выражения x·x-7·x+7x+32·x-83 имеем, что выражения является рациональным. Классификация рациональных и иррациональных дробей нестрогая, поэтому следует внимательно следить за этим при преобразованиях. К рациональным выражениям  относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями. Из школьного курса нам известно, что иррациональные выражения относят к  выражениям, содержащим корни.

    Основные виды преобразований иррациональных выражений

    При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ.  Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.

    Пример 1

    Преобразовать выражение 9+33-2+4·33+1-2·33.

    Решение

    Необходимо выполнить замену числа 81 на значение 9 с выражением, содержащим корень. Тогда получаем, что

    81+33-2+4·33+1-2·33==9+33-2+4·33+1-2·33

    Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим

    9+33-2+4·33+1-2·33==9-2+1+33+4·33-2·33==8+3·33
    Ответ: 9+33-2+4·33+1-2·33=8+3·33

    Пример 2

    Представить выражение x+352-2·x+35+1-9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.

    Решения

    Иррациональным выражением считается выражение, которое имеет квадрат разности, который можно заменить на x+35-12, отсюда следует, что

    x+352-2·x+35+1-9==x+35-12-9

    Представляем 9 в виде 32, причем применим формулу разности квадратов:

    x+35-12-9=x+35-12-32==x+35-1-3·x+35-1+3==x+35-4·x+35+2

    Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.

    Ответ: 

    x+352-2·x+35+1-9==x+35-4·x+35+2

    Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.

    Преобразование подкоренного выражения

    Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1+6 можно заменить на 7 или 2·a54-6 на 2·a4·a4-6. Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.

    Когда не существует а1, отличное от a, где справедливо неравенство вида an=a1n, тогда такое равенство возможно только при а=а1. Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.

    Использование свойств корней

    Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a·b=a·b, где a0, b0, тогда из иррационального  вида 1+3·12 можно стать тождественно равным 1+3·12. Свойство ...ankn2n1=an1·n2·,...,·nk , где a0 говорит о том, что x2+443 можно записать в форме x2+424.

    Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то -7-814=-74-814 записать не можем, так как формула abn=anbn служит только для неотрицательного a и положительного b. Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 74814.

    Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.

    Внесение множителя под знак корня

    Определение 3

    Внести под знак корня – значит заменить выражение B·Cn, а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1, равным выражением, которое имеет вид Bn·Cn или -Bn·Cn.

    Если упростить выражение вида 2·x3, то после внесения под корень, получаем, что 23·x3. Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.

    Вынесение множителя из-под знака корня

    Если имеется выражение вида Bn·Cn, тогда его приводят к виду B·Cn, где имеется нечетные n, которые принимают вид B·Cn с четными n, В и C являются некоторыми числами и выражениями.

    То есть, если брать иррациональное выражение вида 23·x3, вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2·x3. Или x+12·7 даст в результате выражение вида x+1·7, которое имеет еще одну запись в виде x+1·7.

    Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.

    Преобразование дробей, содержащих корни

    Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида (2+3)·x4x2+53, то числитель примет вид 5·x4, а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x2+56. Исходную дробь можно будет записать в виде 5·x4x2+56.

    Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что

    -x+2·x-3·x2+74=x+2·x-(-3·x2+74)=x+2·x3·x2-74

    Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что

    3·x+43-1·xx+43-13 сокращаем на x+43-1. Получим выражение 3·xx+43-12.

    Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.

    Если взять дробь вида 2·x-yx+y, то необходимо вводить новые переменные u=x и v=x, тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2·u2-v2u+v. Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что

    2·u2-v2u+v=2·(u-v)·u+vu+v=2·u-v. После выполнения обратной замены придем к виду 2·x-y, которое равно исходному.

    Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x3-10,5·x, тогда приведем к знаменателю x. для этого  нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2·x, тогда получаем выражение x3-10,5·x=2·x·x3-10,5·x·2·x=2·x·x3-1x.

    Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что  мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.

    Избавление от иррациональности в знаменателе

    Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x33. После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 93·x3.

    Переход от корней к степеням

    Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство amn=amn, то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5-23, то иначе имеем право записать его как 5-23. Эти выражения равнозначны.

    Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула amn=amn не всегда применима. Если нужно заменить такие корни (-8)35 и (-16)24 степенями, тогда получаем, что -835 и -1624 по формуле amn=amn не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула amn=amn применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (8 голосов)